The Bramson delay in the non-local Fisher-KPP equation

Abstract

We consider the non-local Fisher-KPP equation modeling a population with individuals competing with each other for resources with a strength related to their distance, and obtain the asymptotics for the position of the invasion front starting from a localized population. Depending on the behavior of the competition kernel at infinity, the location of the front is either $2t-(3/2)\log t+O(1)$, as in the local case, or $2t-O(t^{\beta })$ for some explicit $\beta \in (0,1)$. Our main tools here are a local-in-time Harnack inequality and an analysis of the linearized problem with a suitable moving Dirichlet boundary condition. Our analysis also yields, for any $\beta \in (0,1)$, examples of Fisher-KPP type non-linearities $f_{\beta }$ such that the front for the local Fisher-KPP equation with reaction term $f_{\beta }$ is at $2t-O(t^{\beta })$.

Résumé

Dans cet article, nous considérons l'équation de Fisher-KPP non locale, qui modélise la dynamique d'une population ou la force de compétition pour les ressources dépend de la distance entre les individus. Nous obtenons une asymptotique précise en temps long de la position d'une population qui est initialement localisée en espace. Selon la décroissance à l'infini du noyau de compétition, la position du front est soit $2t-(3/2)\log t+O(1)$, comme dans le cas de l'équation locale, soit $2t-O(t^{\beta })$, pour un $\beta \in (0,1)$ calculé explicitement. Les outils les plus importants utilisés dans cet article sont une version locale en temps d'une inégalité de Harnack parabolique ainsi qu'une analyse fine du problème linéarisé avec une condition de bord de Dirichlet dynamique. Notre analyse donne aussi, pour tout $\beta \in (0,1)$, des exemples de non-linéarités de type Fisher-KPP pour lesquelles le front se trouve en $2t-O(t^{\beta })$.