Équations de Monge-Ampère invariantes sur les variétés Riemanniennes compactes

Abstract

Let $(V_n,g)$ be a smooth $n$-dimensional compact Riemannian manifold (without boundary). Let $g\prime$ be a mapping which assigns to the second covariant jet (in the metric $g$) of any $C^k$ function $\phi$ on $V_n$, $k⩾2$, a field $g{\prime }_{\phi }$ twice covariant and symmetric. We take $g\prime$ such that there exists $\phi \ast \in C^k(V_n)$, $k⩾2$, admissible i.e. for which Trace $\left[(g{\prime }_{\phi }{)}^{-1}\cdot \frac{\partial g{\prime }_{\phi }}{\partial ({\nabla }^2\phi )}\right]$ is a new metric (everywhere positive definite) (see below and e.g. [3, 4, 5, 6]). Then, given F smooth, one may consider the following non-linear elliptic problem of Monge–Ampère type: find $\phi \in C^{\infty }(V_n)$ admissible, solution of the equation,

where $P$ denotes a generic point of $V_n$ (the admissibility of $\phi$ simply means that the symbol of the differential map $d[\mathrm{Log}M(\phi )]$ is positive definite, hence the ellipticity at $\phi$). In the present article we give existence and uniqueness results for such a Monge–Ampère problem, not in its full generality, but when prescribing on $\phi \to g{\prime }_{\phi }$ to be of a form general to be invariant by changes of unknown function of the type $\phi \to \psi$, where: $\forall P\in V_n$, $\psi (P)\equiv \gamma [P,\phi (P)]$, $\gamma (P,t)$ being a function of $C^{\infty }(V_n\times R)$ such that $\frac{\partial \gamma }{\partial t}>0$.

Résumé

Soit $(V_n,g)$ une variété Riemannienne de classe $C^{\infty }$ compacte de dimension $n$ (sans bord). Soit $g\prime$ une application qui associe au deuxième jet covariant (dans la métrique $g$) de toute fonction $\phi$ de classe $C^k$ sur $V_n$, $k⩾2$, un champ $g{\prime }_{\phi }$ deux fois covariant symétrique. On prend $g\prime$ telle qu’il existe $\phi \in C^k(V_n)$, $k⩾2$, admissible i.e. pour lequel Trace $\left[(g{\prime }_{\phi }{)}^{-1}\cdot \frac{\partial g{\prime }_{\phi }}{\partial ({\nabla }^2\phi )}\right]$ soit une nouvelle métrique (partout définie positive) (voir ci-après et e.g. [3, 4, 5, 6]). Dès lors, pour F de classe $C^{\infty }$ donnée, on peut considérer le problème non linéaire elliptique du type Monge–Ampère suivant : trouver $\phi \in C^{\infty }(V_n)$ admissible, solution de l’équation

où $P$ désigne un point générique de $V_n$ (l’admissibilité de $\phi$ signifie simplement que le symbole de la différentielle $d[\log M(\phi )]$ est défini positif, d’où l’ellipticité en $\phi$). Dans le présent article nous donnons des résultats d’existence et d’unicité pour un tel problème de Monge–Ampère, non pas dans toute sa généralité, mais en imposant à $\phi \to g{\prime }_{\phi }$ d’être d’une forme suffisamment générale pour être invariante par changements de fonction inconnue du type $\phi \to \psi$, où $\forall P\in V_n$, $\psi (P)=\gamma [P,\phi (P)]$, $\gamma (P,t)$ étant une fonction de $C^{\infty }(V_n\times R)$ telle que $\frac{\partial \gamma }{\partial t}>0$.