Abstract

Résumé

Soit (Vn, g) une variété Riemannienne de classe C∞ compacte de dimension n (sans bord). Soit g′ une application qui associe au deuxième jet covariant (dans la métrique g) de toute fonction φ de classe Ck sur Vn, k ⩾ 2, un champ $g{\prime }_{\phi }$ deux fois covariant symétrique. On prend g′ telle qu’il existe φ ∈ Ck(Vn), k ⩾ 2, admissible i.e. pour lequel Trace $\left[(g{\prime }_{\phi }{)}^{-1}\cdot \frac{\partial g{\prime }_{\phi }}{\partial ({\nabla }^2\phi )}\right]$ soit une nouvelle métrique (partout définie positive) (voir ci-après et e.g. [3] [4] [5] [6]). Dès lors, pour F de classe C∞donnée, on peut considérer le problème non linéaire elliptique du type Monge-Ampère suivant : trouver φ ∈ C∞(Vn) admissible, solution de l’équation

où P désigne un point générique de Vn (l’admissibilité de φ signifie simplement que le symbole de la différentielle d[log M(φ)] est défini positif, d’où l’ellipticité en φ). Dans le présent article nous donnons des résultats d’existence et d’unicité pour un tel problème de Monge-Ampère, non pas dans toute sa généralité, mais en imposant à $\phi \to g{\prime }_{\phi }$ d’être d’une forme suffisamment générale pour être invariante par changements de fonction inconnue du type φ → ψ, où ∀P ∈ Vn, ψ(P) = γ[P, φ(P)], γ(P, t) étant une fonction de C∞(Vn × ℝ) telle que $\frac{\partial \gamma }{\partial t}>0$.

Let (Vn, g) be a smooth n-dimensional compact Riemannian manifold (without boundary). Let g′ be a mapping which assigns to the second covariant jet (in the metric g) of any Ck function φ on Vn, k ⩾ 2, a field $g{\prime }_{\phi }$ twice covariant and symmetric. We take g′ such that there exists φ ∈ Ck(Vn), k ⩾ 2, admissible i.e. for which Trace $\left[(g{\prime }_{\phi }{)}^{-1}\cdot \frac{\partial g{\prime }_{\phi }}{\partial ({\nabla }^2\phi )}\right]$ is a new metric (everywhere positive definite) (see below and e.g. [3] [4] [5] [6]). Then, given F smooth, one may consider the following non-linear elliptic problem of Monge-Ampère type: find φ ∈ C∞(Vn) admissible, solution of the equation,

where P denotes a generic point of Vn (the admissibility of φ simply means that the symbol of the differential map d[Log M(φ)] is positive definite, hence the ellipticity at φ). In the present article we give existence and uniqueness results for such a Monge-Ampère problem, not in its full generality, but when prescribing on $\phi \to g{\prime }_{\phi }$ to be of a form general to be invariant by changes of unknown function of the type φ → ψ, where: ∀P ∈ Vn, ψ(P) ≡ γ[P, φ(P)], γ(P, t) being a function of C∞(Vn × ℝ) such that $\frac{\partial \gamma }{\partial t}>0$.