JournalsaihpcVol. 1, No. 3pp. 147–178

Équations de Monge-Ampère invariantes sur les variétés Riemanniennes compactes

  • Philippe Delanoё

    Département de Mathématiques de l’Université Pierre-et-Marie-Curie, Paris, France
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Abstract

Résumé

Soit (Vn, g) une variété Riemannienne de classe C∞ compacte de dimension n (sans bord). Soit g′ une application qui associe au deuxième jet covariant (dans la métrique g) de toute fonction φ de classe Ck sur Vn, k ⩾ 2, un champ gφg′_{\varphi } deux fois covariant symétrique. On prend g′ telle qu’il existe φ ∈ Ck(Vn), k ⩾ 2, admissible i.e. pour lequel Trace [(gφ)1gφ(2φ)]\left[(g′_{\varphi })^{−1} \cdot \frac{∂g′_{\varphi }}{∂(\nabla ^{2}\varphi )}\right] soit une nouvelle métrique (partout définie positive) (voir ci-après et e.g. [3] [4] [5] [6]). Dès lors, pour F de classe C∞donnée, on peut considérer le problème non linéaire elliptique du type Monge-Ampère suivant : trouver φ ∈ C∞(Vn) admissible, solution de l’équation

M(φ)(gφg1)=exp[F(P,φ;φ)]\mathrm{M}(\varphi ) \equiv (|g′_{\varphi }| \cdot |g|^{−1}) = \exp [\mathrm{F}(\mathrm{P},\nabla \varphi ;\varphi )]

où P désigne un point générique de Vn (l’admissibilité de φ signifie simplement que le symbole de la différentielle d[log M(φ)] est défini positif, d’où l’ellipticité en φ). Dans le présent article nous donnons des résultats d’existence et d’unicité pour un tel problème de Monge-Ampère, non pas dans toute sa généralité, mais en imposant à φgφ\varphi \rightarrow g′_{\varphi } d’être d’une forme suffisamment générale pour être invariante par changements de fonction inconnue du type φψ, où ∀P ∈ Vn, ψ(P) = γ[P, φ(P)], γ(P, t) étant une fonction de C∞(Vn × ℝ) telle que γt>0\frac{∂\gamma }{∂t} > 0.

Let (Vn, g) be a smooth n-dimensional compact Riemannian manifold (without boundary). Let g′ be a mapping which assigns to the second covariant jet (in the metric g) of any Ck function φ on Vn, k ⩾ 2, a field gφg′_{\varphi } twice covariant and symmetric. We take g′ such that there exists φ ∈ Ck(Vn), k ⩾ 2, admissible i.e. for which Trace [(gφ)1gφ(2φ)]\left[(g′_{\varphi })^{−1} \cdot \frac{∂g′_{\varphi }}{∂(\nabla ^{2}\varphi )}\right] is a new metric (everywhere positive definite) (see below and e.g. [3] [4] [5] [6]). Then, given F smooth, one may consider the following non-linear elliptic problem of Monge-Ampère type: find φ ∈ C∞(Vn) admissible, solution of the equation,

M(φ)(gφg1)=exp[F(P,φ;φ)]\mathrm{M}(\varphi ) \equiv (|g′_{\varphi }| \cdot |g|^{−1}) = \exp [\mathrm{F}(\mathrm{P},\nabla \varphi ;\varphi )]

where P denotes a generic point of Vn (the admissibility of φ simply means that the symbol of the differential map d[Log M(φ)] is positive definite, hence the ellipticity at φ). In the present article we give existence and uniqueness results for such a Monge-Ampère problem, not in its full generality, but when prescribing on φgφ\varphi \rightarrow g′_{\varphi } to be of a form general to be invariant by changes of unknown function of the type φψ, where: ∀P ∈ Vn, ψ(P) ≡ γ[P, φ(P)], γ(P, t) being a function of C∞(Vn × ℝ) such that γt>0\frac{∂\gamma }{∂t} > 0.

Cite this article

Philippe Delanoё, Équations de Monge-Ampère invariantes sur les variétés Riemanniennes compactes. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 1 (1984), no. 3, pp. 147–178

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30426-7