Linking over cones and nontrivial solutions for p-Laplace equations with p-superlinear nonlinearity

Abstract

We prove that the quasilinear equation $-{\mathrm{\Delta }}_{p}u=\lambda V|u{|}^{p-2}u+g(x,u)$, with $g$ subcritical and $p$-superlinear at $0$ and at infinity, admits a nontrivial weak solution $u\in W_0^{1,p}(\Omega )$ for any $\lambda \in \mathbb{R}$. A minimax approach, allowing also an estimate of the corresponding critical level, is used. New linking structures, associated to certain variational eigenvalues of $-{\mathrm{\Delta }}_{p}u=\lambda V|u{|}^{p-2}u$, are recognized, even in absence of any direct sum decomposition of $W_0^{1,p}(\Omega )$ related to the eigenvalue itself.

Résumé

On démontre que l'équation quasilinéaire $-{\mathrm{\Delta }}_{p}u=\lambda V|u{|}^{p-2}u+g(x,u)$, avec $g$ souscritique et $p$-surlinéaire en 0 et à l'infini, admet une solution faible non triviale. Une approche de minimax est utilisée, qui permet aussi une estimation du niveau critique correspondant. De nouvelles structures d'enlacement, associées à certaines valeurs propres variationnelles de $-{\mathrm{\Delta }}_{p}u=\lambda V|u{|}^{p-2}u$, sont reconnues, même en l'absence d'une décomposition directe de $W_0^{1,p}(\Omega )$ liée à la valeur propre.