Existence of Lipschitz minimizers for the three-well problem in solid-solid phase transitions

Abstract

The three-well problem consists in looking for minimizers $u:\Omega \subset {\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ of a functional $I(u)={\int }_{\Omega }W(\nabla u)\mathrm{d}x$, where the elastic energy $W$ models the tetragonal phase of a phase-transforming material. In particular, $W$ attains its minimum on $K={\bigcup }_{i=1}^3\mathrm{SO}(3)U_i$, with $U_i$ being the three distinct diagonal matrices with eigenvalues $(\lambda ,\lambda ,\tilde{\lambda })$, $\lambda ,\tilde{\lambda }>0$ and $\lambda \ne \tilde{\lambda }$. We show that, for boundary values $F$ in a suitable relatively open subset of ${\mathbb{M}}^{3\times 3}\cap \{F:\det F=\det U_1\}$, the differential inclusion

has Lipschitz solutions.

Résumé

Le problème de type triple puits consiste en la recherche de minimizers $u\text{:}\Omega \subset {\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ d'une fonctionnelle $I(u)={\int }_{\Omega }W(\nabla u)\mathrm{d}x$, où l'énergie élastique $W$ modèle la phase tétragonale d'un matériel à mémoire de forme. En particulier, $W$ atteint son minimum sur $K={\bigcup }_{i=1}^3\mathrm{SO}(3)U_i$, avec $U_i$ les trois matrices diagonales distinctes avec les valeurs propres $(\lambda ,\lambda ,\tilde{\lambda })$, $\lambda ,\tilde{\lambda }>0$ et $\lambda \ne \tilde{\lambda }$. Nous montrons que, pour des conditions au bord $F$ dans un sous-ensemble bien choisi relativement ouvert de ${\mathbb{M}}^{3\times 3}\cap \{F\text{:}\det F=\det U_1\}$, l'inclusion différentiele

a des solutions $u\in W^{1,\infty }(\Omega ;{\mathbb{R}}^3)$.