Relaxation of convex functionals: the gap problem

E. Acerbi; G. Bouchitté; I. Fonseca

doi:10.1016/s0294-1449(02)00017-3

JournalsaihpcVol. 20, No. 3pp. 359–390

Relaxation of convex functionals: the gap problem

E. Acerbi
Dipartimento di Matematica, Via Massimo D'Azeglio 85/A, 43100 Parma, Italy
G. Bouchitté
Département de mathématiques, Université de Toulon et du Var, BP 132, 83957 La Garde Cedex, France
I. Fonseca
Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, USA

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Abstract

It is shown that the relaxed energy

F (u, A) := in f {lim n \to + \infty in f A \int f (x, \nabla u_{n}) d x : {u_{n}} \subset W_{loc}^{1, β} (A; R^{d}), u_{n} \to u in L^{1} (A; R^{d})},

admits the representation

F (u, A) = A \int f (x, \nabla u) d x + μ_{s} (u, A),

where $f$ is a convex, Carathéodory integrand satisfying a nonstandard “ $α - β$ ” growth hypothesis, $β \in [α, N α / (N - 1))$ . Sufficient conditions guaranteeing that $μ_{s} (u,\cdot) = 0$ are discussed. An example asserting that this representation may fail in the quasiconvex case is provided.

Résumé

Nous montrons que l’énergie relaxée

F (u, A) := in f {lim n \to + \infty in f A \int f (x, \nabla u_{n}) d x : {u_{n}} \subset W_{loc}^{1, β} (A; R^{d}), u_{n} \to u in L^{1} (A; R^{d})},

admet la représentation intégrale

F (u, A) = A \int f (x, \nabla u) d x + μ_{s} (u, A),

lorsque $f$ est un intégrande convexe de Carathéodory vérifiant une condition de croissance non standard de type “ $α - β$ ” avec $β \in [α, N α / (N - 1))$ . Des conditions suffisantes assurant que $μ_{s} (u,\cdot) = 0$ sont proposées ainsi qu’un exemple montrant que la représentation obtenue ne s’applique pas au cas quasiconvexe.

Cite this article

E. Acerbi, G. Bouchitté, I. Fonseca, Relaxation of convex functionals: the gap problem. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 20 (2003), no. 3, pp. 359–390

DOI 10.1016/S0294-1449(02)00017-3