Relaxation of convex functionals: the gap problem

  • E. Acerbi

    Dipartimento di Matematica, Via Massimo D'Azeglio 85/A, 43100 Parma, Italy
  • G. Bouchitté

    Département de mathématiques, Université de Toulon et du Var, BP 132, 83957 La Garde Cedex, France
  • I. Fonseca

    Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, USA

Abstract

It is shown that the relaxed energy

admits the representation

where f is a convex, Carathéodory integrand satisfying a nonstandard “αβ” growth hypothesis, β∈[α,/(N−1)). Sufficient conditions guaranteeing that μs(u,·)=0 are discussed. An example asserting that this representation may fail in the quasiconvex case is provided.

Résumé

Nous montrons que l’énergie relaxée

admet la représentation intégrale

lorsque f est un intégrande convexe de Carathéodory vérifiant une condition de croissance non standard de type “αβ” avec β∈[α,/(N−1)). Des conditions suffisantes assurant que μs(u,·)=0 sont proposées ainsi qu’un exemple montrant que la représentation obtenue ne s’applique pas au cas quasiconvexe.

Cite this article

E. Acerbi, G. Bouchitté, I. Fonseca, Relaxation of convex functionals: the gap problem. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 20 (2003), no. 3, pp. 359–390

DOI 10.1016/S0294-1449(02)00017-3