Non-uniqueness of solutions of nonlinear heat equations of fast diffusion type

Abstract

We study the existence of infinitely many solutions for the Cauchy problem associated with the nonlinear heat equation $u_t=(u^{m-1}{u}_x{)}_x$ in the fast diffusion range of exponents $-1<m\le 0$ with initial data $u_0\ge 0$, $u_0\not\equiv 0$. The issue of non-uniqueness arises because of the singular character of the diffusivity for $u\approx 0$. The precise question we want to clarify is: can we have multiple solutions even for initial data which are far away from the singular level $u=0$, for instance for $u_0(x)\equiv 1$? The answer is, rather surprisingly, yes. Indeed, there are infinitely many solutions for every given initial function. These properties differ strongly from other usual types of heat equations, linear or nonlinear.

We take as initial data an arbitrary function in $L_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{R})$. We prove that when the initial data have infinite integral on a side, say at $x=\infty$, then we can choose either to have infinite mass for all small times at least on that side, and the choice is then unique, or finite mass, and then we need to prescribe a flux function with diverging integral at $t=0$, being otherwise quite general. Moreover, a new parameter appears in the solution set. The behaviour on both ends, $x=\infty$ and $x=-\infty$ is similar and independent.

Résumé

Nous étudions l’existence d’une infinité de solutions pour le problème de Cauchy associé à l’équation de la chaleur non linéaire $u_t=(u^{m-1}{u}_x{)}_x$ dans le rang d’exposants $-1<m\le 0$, avec donnée initiale $u_0\ge 0$ et non triviale. La possibilité de non-unicité apparaît à cause de la singularité de la diffusivité $u^{m-1}$ pour $u\sim 0$. La question précise que nous voulons clarifier peut être formulée comme suit : est-il possible d’avoir une multiplicité de solutions même pour une donnée initiale qui est partout loin du niveau singulier $u=0$? La réponse (plutôt surprenante) est OUI, il y a toujours non unicité, et même une infinité de solutions pour chaque donnée initiale $u_0$. Ces propriétés diffèrent notablement de celles des autres équations de la chaleur linéaires ou non linéaires qu’on a étudiées.

On prend des données initiales $u_0\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{R})$. Quand l’intégrale de $u_0$ diverge en $x=+\infty$ on a ou bien le choix d’une masse infinie de ce côté pour tout temps petit (et ce choix est unique) ou bien d’une masse finie toujours, et alors on a besoin d’imposer une fonction de fluxe $f(t)$ à l’infini avec intégrale divergente en $t=0$, autrement arbitraire. L’ensemble des solutions montre encore un paramètre supplémentaire. Le comportement pour $x=-\infty$ est similaire et indépendant.