Homoclinic and period-doubling bifurcations for damped systems

Abstract

We consider the following problem

where $V\in C^2({\mathbf{R}}^n\times \mathbf{R},\mathbf{R})$ is one-periodic in time and behaves roughly like $V(x,t)\simeq -\frac{1}{2}{\left|x\right|}^2+{\left|x\right|}^{\mu }$ for some $\mu >2$. It has been shown in [6] that $0\in {\mathbf{R}}^{2n}$ is a hyperbolic fixed point for ${\Phi }_{\alpha }$, the step-1 map associated to equation ($P^{\alpha }$), and that ${\Phi }_0$ has points homoclinic to 0, i.e. ($P^0$) has a solution not identically 0. We will show that, if the solutions of ($P^0$) are isolated in $H^1(\mathbf{R},{\mathbf{R}}^n)$, then ${\Phi }_{\alpha }$ has positive topological entropy for $\alpha \in [0,\bar{\alpha }]$ for some $\bar{\alpha }>0$. Moreover, we will follow a branch of solutions of ($P^{\alpha }$) as $\alpha$ varies in ${\mathbf{R}}^{+}$ up to an homoclinic tangency and show the existence of an infinite cascade of period-doubling bifurcations near this tangency.

Résumé

Nous considérons le problème suivant

où $V\in C\ast 2({\mathbf{R}}^n\times \mathbf{R},\mathbf{R})$ est périodique en temps de période 1 et se comporte comme $V\left(x,t\right)=\simeq -\frac{1}{2}{\left|x\right|}^2+{\left|x\right|}^{\mu }$, avec $\mu >2$. Il a été montré dans [6] que $0in{\mathbf{R}}^{2n}$ est un point fixe hyperbolique pour ${\Phi }_{\alpha }$, l’application de temps 1 associée à l’équation ($P^{\alpha }$), et que ${\Phi }_0$ des points homoclines à 0, i.e. que $P^0$ a une solution non identiquement nulle. Nous prouvons que, si les solutions de ($P^0$) sont isolées dans $H^1(\mathbf{R},{\mathbf{R}}^n)$, alors ${\Phi }_0$ a une entropie topologique positive si $\alpha \in [0,\bar{\alpha }]$ avec $\bar{\alpha }>0$. De plus, nous suivons une branche de solutions de ($P^{\alpha }$) quand $\alpha$ varie dans ${\mathbf{R}}^{+}$ jusqu’à une tangente homocline et nous prouvons l’existence d’une cascade infinie de bifurcations avec doublement de périodes près de cette tangente.