A variational approach to the local character of G-closure: the convex case

Abstract

This article is devoted to characterize all possible effective behaviors of composite materials by means of periodic homogenization. This is known as a $G$-closure problem. Under convexity and $p$-growth conditions ($p>1$), it is proved that all such possible effective energy densities obtained by a $\Gamma$-convergence analysis, can be locally recovered by the pointwise limit of a sequence of periodic homogenized energy densities with prescribed volume fractions. A weaker locality result is also provided without any kind of convexity assumption and the zero level set of effective energy densities is characterized in terms of Young measures. A similar result is given for cell integrands which enables to propose new counter-examples to the validity of the cell formula in the nonconvex case and to the continuity of the determinant with respect to the two-scale convergence.

Résumé

Cet article est consacré à la caractérisation de toutes les limites effectives possibles de matériaux composites en terme d'homogénéisation périodique. Ce problème est connu sous le nom de $G$-fermeture. Il est démontré, sous des hypothèses de convexité et de croissance $p>1$, que toutes ces densités d'énergies effectives, obtenues lors d'une analyse par $\Gamma$-convergence, peuvent être localement vues comme la limite ponctuelle d'une suite de densités d'énergies périodiquement homogénéisées avec une fraction de volume fixée. Un résultat plus faible est obtenu sans aucune hypothèse de convexité et l'ensemble des zéros de ce type de densités d'énergies effectives est caractérisé en terme de mesures d'Young. Un résultat similaire est donné pour des intégrandes cellulaires, permettant ainsi de proposer de nouveaux contre-exemples quant à la validité de la formule de cellule dans le cas non convexe, ainsi qu'à la continuité du déterminant par rapport à la convergence à double échelle.