Second-order analysis for optimal control problems with pure state constraints and mixed control-state constraints

Abstract

This paper deals with the optimal control problem of an ordinary differential equation with several pure state constraints, of arbitrary orders, as well as mixed control-state constraints. We assume (i) the control to be continuous and the strengthened Legendre–Clebsch condition to hold, and (ii) a linear independence condition of the active constraints at their respective order to hold. We give a complete analysis of the smoothness and junction conditions of the control and of the constraints multipliers. This allows us to obtain, when there are finitely many nontangential junction points, a theory of no-gap second-order optimality conditions and a characterization of the well-posedness of the shooting algorithm. These results generalize those obtained in the case of a scalar-valued state constraint and a scalar-valued control.

Résumé

Dans cet article on s'intéresse au problème de commande optimale d'une équation différentielle ordinaire avec plusieures contraintes pures sur l'état, d'ordres quelconques, et des contraintes mixtes sur la commande et sur l'état. On suppose que (i) la commande est continue et la condition forte de Legendre–Clebsch satisfaite, et (ii) une condition d'indépendance linéaire des contraintes actives est satisfaite. Des résultats de régularité des solutions et multiplicateurs et des conditions de jonction sont donnés. Lorsqu'il y a un nombre fini de points de jonction, on obtient des conditions d'optimalité du second-ordre nécessaires ou suffisantes, ainsi qu'une caractérisation du caractère bien posé de l'algorithme de tir. Ces résultats généralisent les résultats obtenus dans le cas d'une contrainte sur l'état et d'une commande scalaires.