Linear instability implies nonlinear instability for various types of viscous boundary layers

Abstract

The aim of this paper is to give a simple proof to the fact that linear instability implies nonlinear instability for two classes of boundary layers: Ekman layers, mixed Ekman Hartmann layers. In the case of rotating fluids, we prove that linear instability of Ekman boundary layers (as studied in Lilly’s work [14]) implies nonlinear instability in $L^{\infty }$ norm. This result describes the onset of turbulence at high enough Reynolds numbers. Application of these techniques to MHD models is also given.

Résumé

L’objectif de cet article est de donner une preuve simple du fait que l’instabilité linéaire entraine l’instabilité non linéaire pour deux classes de couches limites : couches limites d’Ekman, couches limites mixtes Ekman Hartmann. Dans le cas de fluides tournants, on montre que l’instabilité linéaire des couches d’Ekman (étudiée par Lilly dans [14]) implique l’instabilité non linéaire en norme $L^{\infty }$. Ce résultat décrit l’apparition de la turbulence pour des Reynolds suffisament grands. Des applications de ces techniques à des modèles de MHD sont aussi données.