An example of non-convex minimization and an application to Newton's problem of the body of least resistance

Abstract

We study the minima of the functional ${\int }_{\Omega }f(\nabla u)$. The function $f$ is not convex, the set $\Omega$ is a domain in $R^2$ and the minimum is sought over all convex functions on $\Omega$ with values in a given bounded interval. We prove that a minimum $u$ is almost everywhere ‘on the boundary of convexity’, in the sense that there exists no open set on which $u$ is strictly convex. In particular, wherever the Gaussian curvature is finite, it is zero.

An important application of this result is the problem of the body of least resistance as formulated by Newton (where $f(p)=1/(1+|p{|}^2)$ and $\Omega$ is a ball), implying that the minimizer is not radially symmetric. This generalizes a result in [1].

Résumé

On examine les minimums d’une fonctionnelle de la forme ${\int }_{\Omega }f(\nabla u)$ où $f$ n’est pas convexe et Ω est un domaine borné de $R^2$, l’ensemble des fonctions admissibles $u$ étant restreint aux fonctions convexes à valeurs dans un intervalle fixé. On démontre que ces minimums sont presque partout à la limite de la convexité, en ce sens qu’il n’existe pas d’ouvert où ils sont strictement convexes. En particulier, aux points où leurs graphes possèdent une courbure gaussienne finie, celle-ci est nulle.

Ce résultat s’applique notamment au problème de la résistance minimale de Newton (où $f(p)=1/(1+|p{|}^2)$ et $\Omega$ est une boule). Il implique que le minimum n’est pas à symétrie radiale, généralisant ainsi le résultat de [1].