An example of non-convex minimization and an application to Newton's problem of the body of least resistance
T. Lachand-Robert
Université Pierre et Marie Curie, Laboratoire d’Analyse Numérique, 75252 Paris Cedex 05, FranceM.A. Peletier
Centrum voor Wiskunde en Informatica P.O. Box 94079, 1090 GB Amsterdam, The Netherlands
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Abstract
We study the minima of the functional . The function is not convex, the set is a domain in and the minimum is sought over all convex functions on with values in a given bounded interval. We prove that a minimum is almost everywhere ‘on the boundary of convexity’, in the sense that there exists no open set on which is strictly convex. In particular, wherever the Gaussian curvature is finite, it is zero.
An important application of this result is the problem of the body of least resistance as formulated by Newton (where and is a ball), implying that the minimizer is not radially symmetric. This generalizes a result in [1].
Résumé
On examine les minimums d’une fonctionnelle de la forme où n’est pas convexe et Ω est un domaine borné de , l’ensemble des fonctions admissibles étant restreint aux fonctions convexes à valeurs dans un intervalle fixé. On démontre que ces minimums sont presque partout à la limite de la convexité, en ce sens qu’il n’existe pas d’ouvert où ils sont strictement convexes. En particulier, aux points où leurs graphes possèdent une courbure gaussienne finie, celle-ci est nulle.
Ce résultat s’applique notamment au problème de la résistance minimale de Newton (où et est une boule). Il implique que le minimum n’est pas à symétrie radiale, généralisant ainsi le résultat de [1].
Cite this article
T. Lachand-Robert, M.A. Peletier, An example of non-convex minimization and an application to Newton's problem of the body of least resistance. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 18 (2001), no. 2, pp. 179–198
DOI 10.1016/S0294-1449(00)00062-7