A global perspective for non-conservative dynamics

Abstract

Since Poincaré's fundamental work on the qualitative study of differential equations in 1881, the viewpoint of pursuing the description of the long range behavior of trajectories for “most” systems has been somewhat present in dynamics. About eight decades later, Smale was aiming exactly at that purpose when he introduced in the early sixties the concept of hyperbolic systems, which turns out to correspond to a large class of robust systems that gave rise to a basic theory of modern dynamics. Yet, hyperbolic systems are not typical since not every system can be approximated by a hyperbolic one, as can be seen by the famous example of the butterfly attractor provided by Lorenz, which is not hyperbolic and still robust or totally persistent under small perturbations of the initial flow. A string of other counter-examples were constructed in the late sixties and early seventies, and is to be noticed that all of them are related to cycles in dynamics, introduced by Poincaré, which will be focused here.

In the present paper, we wish to provide some perspective about this major question, proposing in qualitative terms what could be the main characteristics of a typical system. Indeed, we shall discuss partial successes and a possible strategy for proving a global conjecture on the finitude of large basin attractors and their stochastic stability for non-conservative dynamics; i.e. $C^r$ flows, diffeomorphisms, and transformations of compact, boundaryless manifolds or the interval, $r⩾1$. We shall also impose the union of the attracting basins to have total probability in the ambient space (phase space). Thus, the aim of our conjecture is a description in a rather simple conceptual way of the long range behavior of a typical (positive) trajectory of a typical dynamical system: each trajectory has only finitely many choices (of attractors) where to accumulate upon in the future. We discuss some recent related results, including homoclinic bifurcations, dynamical robustness and persistence, as well as systems with a dominated or partially hyperbolic decomposition.

My perspective is that we should expect, no so long in the future, substantial progress about the main and some of the other conjectures in this paper in the $C^1$ topology context and for one-dimensional dynamics, as conveyed in the introduction. A key difficulty in higher dimensions and the $C^r$ topology, $r>1$, arises from the question whether densely, in the space of non-conservative dynamics, the systems display a dense subset of periodic orbits in their limit or nonwandering set. The question has been positively settled only in the $C^1$ topology, a result due to Pugh in the sixties, and it remains open otherwise except for dimension one or flows on orientable surfaces. Still, in my view, the $C^1$ case is already iluminating of the darker realm of dynamics. Above all, the idea of having most systems with only finitely many attractors toward which almost all orbits are attracted to, seems to me a tempting one to be considered even in special and yet relevant settings.

Résumé

Depuis le travail fondamental de Poincaré sur l'étude qualitative des équations différentielles en 1881, l'idée de chercher la description du comportement à long terme des trajectoires pour « la plupart » des systèmes a été présente d'une certaine façon en dynamique. Environ huit décennies plus tard, Smale s'attelait exactement à cette tâche quand il introduisit, au début des années soixante, le concept de systèmes hyperboliques, qui correspondent finalement à une grande classe de systèmes robustes qui donnèrent naissance à une théorie de base de la dynamique moderne. Cependant, les systèmes hyperboliques ne sont pas typiques puisque n'importe quel système ne peut pas être approché par un système hyperbolique, comme le montre le célèbre attracteur « papillon » découvert par Lorenz, qui n'est pas hyperbolique mais toujours robuste ou totalement persistant par des petites perturbations du flot initial. Une série d'autres contre-exemples furent construits à la fin des années soixante et au début des années soixante-dix, et l'on doit remarquer que tous sont liés à des cycles en dynamique, introduits par Poincaré, et que nous allons considérer ici.

Dans cet article, nous souhaitons donner une vision de cette question majeure, proposer en des termes qualitatifs ce que pourraient être les principales caractéristiques d'un système typique. En effet, nous discuterons des succès partiels et d'une possible stratégie pour prouver une conjecture globale sur la finitude des attracteurs des grands bassins et leur stabilité stochastique pour les dynamiques non-conservatives, à savoir, les flots, les difféomorphismes et les transformations des variétés compactes sans bords ou de l'intervalle de classe $C^r$ pour $r⩾1$. Nous imposerons aussi que l'union des bassins attracteurs soit de probabilité un dans l'espace ambiant (l'espace des phases). Ainsi, le but de notre conjecture est une description, d'une manière relativement simple conceptuellement, du comportement à long terme d'une trajectoire (positive) typique d'un système dynamique typique : chaque trajectoire n'a qu'un nombre fini de choix (d'attracteurs) où s'accumuler dans le futur.

Nous discuterons de quelques résultats connexes récents, notamment des bifurcations homocliniques, de la robustesse dynamique et de la persistance, de même que des systèmes avec une décomposition dominée ou partiellement hyperbolique.

Mon point de vue est que nous devrions connaître à moyen terme des progrès substanciels à propos de la conjecture principale et d'autres conjectures de cet article dans le contexte de la topologie $C^1$ et pour la dynamique de dimension un, comme cela a été expliqué dans l'introduction. Une difficulté majeure en dimension supérieure et en topologie $C^r$ pour $r>1$ provient de la question de savoir si, de façon dense dans l'espace des dynamiques non-conservatives, les systèmes possèdent un sous-ensemble dense d'orbites périodiques dans leur ensemble limite ou leur ensemble « non-récurrent ». La question a été résolue seulement dans le cas $C^1$ : c'est un résultat de Pugh dans les années soixante ; elle reste ouverte dans les autres cas, sauf en dimension un ou pour le flot sur des surfaces orientables. De mon point de vue, même le cas $C^1$ est déjà éclairant dans le domaine inconnu de la dynamique. Avant tout, l'idée d'avoir souvent des systèmes avec un nombre fini d'attracteurs vers lesquels presque toutes les orbites sont également attirées me semble être une idée attrayante à considérer même dans des contextes particuliers mais pourtant pertinents.