Decay of geometry for Fibonacci critical covering maps of the circle

Abstract

We study the growth of $D{f}^n(f(c))$ when $f$ is a Fibonacci critical covering map of the circle with negative Schwarzian derivative, degree $d⩾2$ and critical point $c$ of order $\ell >1$. As an application we prove that $f$ exhibits exponential decay of geometry if and only if $\ell ⩽2$, and in this case it has an absolutely continuous invariant probability measure, although not satisfying the so-called Collet–Eckmann condition.

Résumé

Nous étudions la croissance de $D{f}^n(f(c))$ lorsque $f$ est un revêtement critique de Fibonacci du cercle avec dérivée Schwarzienne négative, degré $d⩾2$ et point critique $c$ d'ordre $\ell >1$. Comme application nous démontrons que $f$ exhibe une décroissance exponentielle de géométrie si et seulement si $\ell ⩽2$, et dans ce cas $f$ a une mesure de probabilité invariante absolument continue, sans satisfaire la condition de Collet–Eckmann.