Front propagation for reaction-diffusion equations of bistable type

Abstract

We present a direct PDE approach to study the behavior as $\epsilon \to 0$ of the solution $u^{\epsilon }$ of the reaction-diffusion equation: $u_t^{\epsilon }-\epsilon \mathrm{\Delta }{u}^{\epsilon }=\left(1/\epsilon \right)f\left(u^{\epsilon }\right)$ in $R^N\times (0,\infty )$ in the case when $f$ is the derivative of a bistable potential. Such singular perturbation problems arise in the study of large time wavefront propagations generated by such equations following a method introduced by M. Freidlin.

Résumé

Nous présentons une méthode EDP directe pour étudier le comportement, quand $\epsilon \to 0$ de la solution $u^{\epsilon }$ de l’équation de réaction-diffusion : $u_t^{\epsilon }-\epsilon \mathrm{\Delta }{u}^{\epsilon }=\left(1/\epsilon \right)f\left(u^{\epsilon }\right)$ dans $R^N\times (0,\infty )$ dans le cas où $f$ est la dérivée d’un potentiel bistable. De tels problèmes de perturbation singulière interviennent dans l’étude asymptotique des fronts de propagations générés par de telles équations, en suivant une méthode introduite par M. Freidlin.