A priori regularity for weak solutions of some nonlinear elliptic equations

Abstract

Let $f(u)$ be some positive regular function bounded from above by $u^{\frac{n}{n-2}}$, in $R^{+}$. We derive some necessary and sufficient conditions, in order for all positive solutions to $-\mathrm{\Delta }u=f\left(u\right)\in L_{\mathrm{loc}}^1\left(R^n\right)$ to be regular.

Résumé

Soit $f(u)$ une fonction positive, suffisamment régulière, bornée par $u^{\frac{n}{n-2}}$ sur $R^{+}$. On démontre qu’il existe un critère permettant de déterminer si toutes les solutions faibles positives de $-\mathrm{\Delta }u=f\left(u\right)\in L_{\mathrm{loc}}^1\left(R^n\right)$ sont régulières.