Fonctions qui opèrent sur les espaces de Besov et de Triebel

Abstract

Let $F$ be a function which acts, via left composition, on the Besov – or Triebel – space ${\mathrm{E}}_p^s(R^n)(s>0)$. We prove that $F$ is locally Lipschitz, if ${\mathrm{E}}_p^s(R^n)$ is imbedded into $L^{\infty }(R^n)$, and globally Lipschitz if not; these conditions are necessary and sufficient when $0<s<1$.

Résumé

Soit $F$ une fonction qui opère, par composition à gauche, sur l’espace de Besov – ou de Triebel – ${\mathrm{E}}_p^s(R^n)(s>0)$. On montre que $F$ est localement lipschitzienne si ${\mathrm{E}}_p^s(R^n)$ s’injecte dans $L^{\infty }(R^n)$, globalement lipschitzienne sinon. Ces conditions sont nécessaires et suffisantes pour $0<s<1$.