Nonuniqueness for the heat flow of harmonic maps

Abstract

We construct maps $u_0:B^3\to S^2$ such that the Cauchy problem « find $u:B^3\times [0,+\infty )\to S^2$ such that $u(x,0)=u_0(x)$ in $B^3$, $u_t-\mathrm{\Delta }u=u{\left|\nabla u\right|}^2$, $u=u_0$ on$\partial B^3\times [0,+\infty )$ » has infinitely many weak solutions.

Résumé

On construit des applications $u_0$ de$B^3$ dans $S^2$ telles que le problème de Cauchy « trouver $u:B^3\times [0,+\infty [\to S^2$ tel que $u_t-\mathrm{\Delta }u=u{\left|\nabla u\right|}^2$, $u(x,0)=u_0(x)$ dans $B^3$, $u=u_0$ sur $\partial {\mathrm{B}}^3\times [0,+\infty [$ » a une infinité de solutions faibles.