Propriétés des matrices « bien localisées » près de leur diagonale et quelques applications

Abstract

In the following paper, two classes of infinite matrices are studied (matrices with exponentially or polynomially decreasing coefficients away from the diagonal). Properties of symbolic calculus type are shown: Inversibility on $l^2$ implies that the inverse has the same decay property. It is also shown that inversion is a “local” transformation of the matrix: A change in the coefficients is not felt far away from the area changed. Two applications concerning the properties of orthonormal bases of wavelets are given.

Résumé

Nous étudions dans cet article deux classes de matrices infinies (matrices dont les coefficients sont à décroissance exponentielle ou polynomiale en s’éloignant de la diagonale). Nous montrons qu’elles possèdent des propriétés du type « calcul symbolique » : L’inversibilité sur $l^2$ implique que les coefficients de la matrice inverse ont la même propriété de décroissance. De plus, l’inversion est une opération « locale » : Une perturbation des coefficients de A n’est pas ressentie sur son inverse loin de la zone de perturbation. Nous fournissons deux exemples d’applications concernant les propriétés des bases orthonormées d’ondelettes.