Kinetic formulation for heterogeneous scalar conservation laws

Abstract

This article is concerned with the study of entropy solutions of the scalar conservation law ${\partial }_{t}u+{\mathrm{div}}_{x}A(x,u)=0$. The main novelty of our work lies in the fact that the flux $A$ is allowed to depend on the space variable $x$. We introduce a kinetic formulation for this equation, proven to be equivalent to the usual entropy inequalities. We check the existence and uniqueness of weak $L^1$ solutions of the scalar law.

Résumé

On étudie ici les solutions entropiques de lois de conservation scalaires hétérogènes ${\partial }_{t}u+{\mathrm{div}}_{x}A(x,u)=0$. L'apport principal de notre étude vient de la forme plus générale du flux $A$, qui dépend explicitement de la variable d'espace $x$. On commence par introduire une formulation cinétique de la loi de conservation, dont on montre qu'elle est équivalente aux inégalités entropiques habituelles. On vérifie ensuite l'existence et l'unicité de solutions faibles $L^1$ de la loi de conservation.