Lp regularity of velocity averages

Abstract

In this article, we present some general regularity results for “velocity averages” i. e. averages in $\nu$ of functions $f(x,v)$ for which $(v.{\nabla }_{x}f)$ has some given regularity. We are able to cover general regularity classes for both $f$ and $(v.{\nabla }_{x}f)$ and we thus extend various known results. Our methods of proof rely on Littlewood–Paley type decompositions, interpolation arguments and a spectral decomposition adapted to the “velocity direction”.

Résumé

Nous présentons dans cet article des résultats généraux de régularité de moyennes en vitesse (c’est-à-dire de moyennes en $\nu$ ) de fonctions $f(x,v)$ pour lesquelles $(v.{\nabla }_{x}f)$ a une certaine régularité. Nos résultats permettent des classes de régularité générales pour $f$ et $(v.{\nabla }_{x}f)$, généralisant ainsi plusieurs résultats antérieurs. Notre méthode de preuve repose sur les décompositions de type Littlewood–Paley, des arguments d’interpolation et une décomposition spectrale adaptée à la « direction des vitesses ».