Abstract

We study in this paper the stability of the renormalized nonlinear elliptic equation

where Φ : ℝ → ℝN is a continuous function which is not assumed to satisfy any growth condition. The above renormalized formulation differs from the usual weak one by the fact that the test functions h(u) φ (which depend on the solution itself) are used in place of the usual test functions .

Consider a sequence of renormalized solutions uε relative to a fixed right-hand side f, to a fixed function Φ and to a sequence of matrices Αε which converges in the homogenization’s sense to A0. We prove that a subsequence of uε weakly converges in ${\mathrm{H}}_0^1(\mathrm{\Omega })$ to a renormalized solution of the equation relative to f, Φ and A0.

We also consider a sequence of renormalized solutions uε relative to a fixed matrix A, to a fixed function Φ and to a sequence of right-hand sides fε which weakly converges to f0 in Η−1(Ω). Under a special equi-integrability assumption on fε we prove that a subsequence of uε weakly converges in ${\mathrm{H}}_0^1(\mathrm{\Omega })$ to a renormalized solution of the equation relative to Α, Φ and f0.

Résumé

Nous étudions dans cet article la stabilité de l’équation elliptique non linéaire renormalisée

où Φ : ℝ → ℝN est une fonction continue à laquelle aucune hypothèse de croissance n’est imposée. La formulation renormalisée ci-dessus diffère de la formulation faible habituelle par le fait qu’on y utilise des fonctions test h(u) φ (qui dépendent de la solution elle-même) et non seulement les fonctions test habituelles .

Considérons une suite de solutions renormalisées uε relatives à un second membre fixé f, à une fonction fixée Φ et à une suite de matrices Aε qui converge au sens de l’homogénéisation vers A0. Nous démontrons qu’une sous-suite de uε converge faiblement dans ${\mathrm{H}}_0^1(\mathrm{\Omega })$ vers une solution renormalisée de l’équation relative à f, Φ et A0.

Nous considérons également une suite de solutions renormalisées uε relatives à une matrice fixée A, à une fonction fixée Φ et à une suite de second membres fε qui converge faiblement dans Η−1(Ω) vers f0. Sous une hypothèse d’équi-intégrabilité spéciale sur les fε nous montrons qu’une sous-suite de uε converge faiblement dans ${\mathrm{H}}_0^1(\mathrm{\Omega })$ vers une solution renormalisée de l’équation relative à A, Φ et f0.