Homogenization of renormalized solutions of elliptic equations
François Murat
Laboratoire d’Analyse Numérique, Tour 55-65, Université Paris VI, 75252 Paris Cedex 05, France
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Abstract
We study in this paper the stability of the renormalized nonlinear elliptic equation
where is a continuous function which is not assumed to satisfy any growth condition. The above renormalized formulation differs from the usual weak one by the fact that the test functions (which depend on the solution itself) are used in place of the usual test functions .
Consider a sequence of renormalized solutions relative to a fixed right-hand side , to a fixed function and to a sequence of matrices which converges in the homogenization’s sense to . We prove that a subsequence of weakly converges in to a renormalized solution of the equation relative to , and .
We also consider a sequence of renormalized solutions relative to a fixed matrix , to a fixed function and to a sequence of right-hand sides which weakly converges to in . Under a special equi-integrability assumption on we prove that a subsequence of weakly converges in& to a renormalized solution of the equation relative to , and .
Résumé
Nous étudions dans cet article la stabilité de l’équation elliptique non linéaire renormalisée
où est une fonction continue à laquelle aucune hypothèse de croissance n’est imposée. La formulation renormalisée ci-dessus diffère de la formulation faible habituelle par le fait qu’on y utilise des fonctions test (qui dépendent de la solution elle-même) et non seulement les fonctions test habituelles .
Considérons une suite de solutions renormalisées relatives à un second membre fixé , à une fonction fixée et à une suite de matrices qui converge au sens de l’homogénéisation vers . Nous démontrons qu’une sous-suite de converge faiblement dans vers une solution renormalisée de l’équation relative à , et .
Nous considérons également une suite de solutions renormalisées relatives à une matrice fixée , à une fonction fixée et à une suite de second membres qui converge faiblement dans vers . Sous une hypothèse d’équi-intégrabilité spéciale sur les nous montrons qu’une sous-suite de converge faiblement dans vers une solution renormalisée de l’équation relative à , et .
Cite this article
François Murat, Homogenization of renormalized solutions of elliptic equations. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 8 (1991), no. 3/4, pp. 309–332
DOI 10.1016/S0294-1449(16)30266-9