Homogenization of renormalized solutions of elliptic equations

Abstract

We study in this paper the stability of the renormalized nonlinear elliptic equation

where $\Phi :R\to R^N$ is a continuous function which is not assumed to satisfy any growth condition. The above renormalized formulation differs from the usual weak one by the fact that the test functions $h(u)\phi$ (which depend on the solution itself) are used in place of the usual test functions $\phi \in \mathcal{D}\Omega$.

Consider a sequence of renormalized solutions $u^{\epsilon }$ relative to a fixed right-hand side $f$, to a fixed function $\Phi$ and to a sequence of matrices $A^{\epsilon }$ which converges in the homogenization’s sense to $A^0$. We prove that a subsequence of $u^{\epsilon }$ weakly converges in ${\mathrm{H}}_0^1(\mathrm{\Omega })$ to a renormalized solution of the equation relative to $f$, $\Phi$ and $A^0$.

We also consider a sequence of renormalized solutions $u^{\epsilon }$ relative to a fixed matrix $A$, to a fixed function $\Phi$ and to a sequence of right-hand sides $f^{\epsilon }$ which weakly converges to $f^0$ in ${\mathrm{H}}^{-1}(\Omega )$. Under a special equi-integrability assumption on $f^{\epsilon }$ we prove that a subsequence of $u^{\epsilon }$ weakly converges in& ${\mathrm{H}}_0^1(\mathrm{\Omega })$ to a renormalized solution of the equation relative to $A$, $\Phi$ and $f^0$.

Résumé

Nous étudions dans cet article la stabilité de l’équation elliptique non linéaire renormalisée

où $\Phi :R\to R^N$ est une fonction continue à laquelle aucune hypothèse de croissance n’est imposée. La formulation renormalisée ci-dessus diffère de la formulation faible habituelle par le fait qu’on y utilise des fonctions test $h(u)\phi$ (qui dépendent de la solution elle-même) et non seulement les fonctions test habituelles $\phi \in \mathcal{D}\Omega$.

Considérons une suite de solutions renormalisées $u^{\epsilon }$ relatives à un second membre fixé $f$, à une fonction fixée $\Phi$ et à une suite de matrices $A^{\epsilon }$ qui converge au sens de l’homogénéisation vers $A^0$. Nous démontrons qu’une sous-suite de $u^{\epsilon }$ converge faiblement dans ${\mathrm{H}}_0^1(\mathrm{\Omega })$ vers une solution renormalisée de l’équation relative à $f$, $\Phi$ et $A^0$.

Nous considérons également une suite de solutions renormalisées $u^{\epsilon }$ relatives à une matrice fixée $A$, à une fonction fixée $\Phi$ et à une suite de second membres $f^{\epsilon }$ qui converge faiblement dans ${\mathrm{H}}^{-1}(\Omega )$ vers $f^0$. Sous une hypothèse d’équi-intégrabilité spéciale sur les $f^{\epsilon }$ nous montrons qu’une sous-suite de $u^{\epsilon }$ converge faiblement dans ${\mathrm{H}}_0^1(\mathrm{\Omega })$ vers une solution renormalisée de l’équation relative à $A$, $\Phi$ et $f^0$.