The minimal period problem of classical Hamiltonian systems with even potentials

Abstract

In this paper, we study the existence of periodic solutions with prescribed minimal period for even superquadratic autonomous second order Hamiltonian systems defined on ${\mathbf{R}}^n$ with no convexity assumptions. We use a direct variational approach for this problem on a $W^{1,2}$ space of functions invariant under the action of a transformation group isomorphic to the Klein Fourgroup ${\mathbf{V}}_4={\mathbf{Z}}_2\oplus {\mathbf{Z}}_2$ to find symmetric periodic solutions, and prove a new iteration inequality on the Morse index by iterating such functions properly. Using these tools and the Mountain-pass theorem, we show that for every $T>0$, the above mentioned system possesses a $T$-periodic solution $x(t)$ with minimal period $T$ or $T/3$, and this solution is even about $t=0,T/2$ and odd about $t=T/4,3T/4$.

Résumé

Dans cet article, on étudie l’existence de solutions périodiques avec la période minimale prescrit pour les systèmes hamiltoniens pairs autonomes d’ordre secondaire à croissance super-quadratique, définis dans ${\mathbf{R}}^n$ sans hypothèse de convexité. Pour trouver des solutions périodiques symétriques, on utilise une approche directe variationnelle pour ce problème dans $W^{1,2}$, espace de fonctions invariantes sous l’action d’un groupe de transformation, qui est isomorphe avec le Quatre-groupe de Klein ${\mathbf{V}}_4={\mathbf{Z}}_2\oplus {\mathbf{Z}}_2$, et prouve les nouvelles inégalités d’itération sur les indices de Morse pour l’itération propre de telles fonctions. En utilisant ces outils et le théorème de Col de Montagne, on montre que pour chaque $T>0$ le système ci-dessus possède une solution $T$-période $x(t)$ avec la periode minimale $T$ ou $T/3$, et que cette solution est paire sur $t=0,T/2$ et impaire sur $t=T/4,3T/4$.