Dissipation Induced Instabilities

Abstract

The main goal of this paper is to prove that if the energy-momentum (or energy-Casimir) method predicts formal instability of a relative equilibrium in a Hamiltonian system with symmetry, then with the addition of dissipation, the relative equilibrium becomes spectrally and hence linearly and nonlinearly unstable. The energy-momentum method assumes that one is in the context of a mechanical system with a given symmetry group. Our result assumes that the dissipation chosen does not destroy the conservation law associated with the given symmetry group – thus, we consider internal dissipation. This also includes the special case of systems with no symmetry and ordinary equilibria. The theorem is proved by combining the techniques of Chetaev, who proved instability theorems using a special Chetaev-Lyapunov function, with those of Hahn, which enable one to strengthen the Chetaev results from Lyapunov instability to spectral instability. The main achievement is to strengthen Chetaev’s methods to the context of the block diagonalization version of the energy momentum method given by Lewis, Marsden, Posbergh, and Simo. However, we also give the eigenvalue movement formulae of Krein, MacKay and others both in general and adapted to the context of the normal form of the linearized equations given by the block diagonal form, as provided by the energy-momentum method. A number of specific examples, such as the rigid body with internal rotors, are provided to illustrate the results.

Résumé

Le but de ce travail est de démontrer que si la méthode d’énergie-moment (ou énergie-Casimir) entraîne l’instabilité formelle pour un équilibre relatif d’un système hamiltonien avec symétries, alors l’addition de dissipation rend l’instabilité spectrale, et donc linéaire et non-linéaire, de cet équilibre relatif. Les systèmes mécaniques considérés sont classiques, c’est-à-dire, l’espace des phases est la variété cotangente d’une variété riemanienne (l’espace des configurations) et l’hamiltonien est la somme de l’énergie cinétique de la métrique avec l’énergie potentielle dépendant seulement des variables de l’espace des configurations. On suppose aussi qu’un groupe de symétries agit sur l’espace des configurations et, donc, sur l’espace des phases et que l’hamiltonien est invariant sous cette action. Notre résultat suppose que la dissipation préserve la loi de conservation induite par le groupe de symétries — donc nous considérons seulement des dissipations internes. Ce cas inclut aussi tous les équilibres odinaires et les systèmes nonsymétriques. Le théorème est démontré par une combinaison des méthodes de Chetaev, qui ont donné des théorèmes d’instabilité utilisant une fonction spéciale de Chetaev-Lyapunov, avec celles de Hahn. Notre théorème permet de généraliser ces résultats d’instabilité de Lyapunov pour le système linéarisé de Chetaev à l’instabilité spectrale. Le résultat principal est l’adaptation et l’amélioration des résultats de Chetaev dans le contexte de la version bloc-diagonale de la méthode d’énergie-moment donnée par Lewis, Marsden, Posbergh et Simo. Nous donnons aussi les formules de Krein, MacKay et autres sur le mouvement des valeurs propres, en général et adaptées pour la forme normale de l’équation linéarisée donnée par la forme bloc-diagonale de la méthode d’énergie-moment. Pour illustrer la méthode générale, nous donnons plusieurs exemples, comme le corps rigide avec gyroscopes internes.