Existence of multi-solitons for the focusing Logarithmic Non-Linear Schrödinger Equation

Abstract

We consider the logarithmic Schrödinger equation (logNLS) in the focusing regime. For this equation, Gaussian initial data remains Gaussian. In particular, the Gausson - a time-independent Gaussian function - is an orbitally stable solution. In this paper, we construct multi-solitons (or multi-Gaussons) for logNLS, with estimates in $H^1\cap \mathcal{F}(H^1)$. We also construct solutions to logNLS behaving (in $L^2$) like a sum of $N$ Gaussian solutions with different speeds (which we call multi-gaussian). In both cases, the convergence (as $t\to \infty$) is faster than exponential. We also prove a rigidity result on these constructed multi-gaussians and multi-solitons, showing that they are the only ones with such a convergence.

Résumé

On considère l'équation de Schrödinger logarithmique (logNLS) en régime focalisant. Pour cette équation, les données initiales gaussiennes restent gaussiennes. En particulier, le Gausson - une fonction gaussienne indépendante du temps - est une solution orbitalement stable. Dans cet article, nous construisons des multi-solitons (ou multi-Gaussons) pour logNLS, avec estimées dans $H^1\cap \mathcal{F}(H^1)$. Nous construisons également des solutions à logNLS se comportant (dans $L^2$) comme une somme de $N$ solutions gaussiennes avec différentes vitesses (que nous appelons multi-gaussiennes). Pour chaque cas, la convergence (pour $t\to \infty$) est plus rapide qu'exponentielle. Nous prouvons également un résultat de rigidité sur ces multi-gaussiennes et multi-solitons construits, en montrant que ce sont les seuls avec une telle convergence.