On double-covering stationary points of a constrained Dirichlet energy

Abstract

The double-covering map ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ is given by

in cartesian coordinates. This paper examines the conjecture that ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ is the global minimizer of the Dirichlet energy $I(\mathbf{u})={\int }_B|\nabla \mathbf{u}{|}^{2}d\mathbf{x}$ among all $W^{1,2}$ mappings $\mathbf{u}$ of the unit ball $B\subset {\mathbb{R}}^2$ satisfying (i) $\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ on $\partial B$, and (ii) $\det \nabla \mathbf{u}=1$ almost everywhere. Let the class of such admissible maps be $\mathcal{A}$. The chief innovation is to express $I(\mathbf{u})$ in terms of an auxiliary functional $G(\mathbf{u}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}})$, using which we show that ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ is a stationary point of $I$ in $\mathcal{A}$, and that ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ is a global minimizer of the Dirichlet energy among members of $\mathcal{A}$ whose Fourier decomposition can be controlled in a way made precise in the paper. By constructing variations about ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ in $\mathcal{A}$ using ODE techniques, we also show that ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ is a local minimizer among variations whose tangent $\mathbf{\psi }$ to $\mathcal{A}$ at ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ obeys $G({\mathbf{\psi }}^{\mathrm{o}})>0$, where ${\mathbf{\psi }}^{\mathrm{o}}$ is the odd part of $\mathbf{\psi }$. In addition, a Lagrange multiplier corresponding to the constraint $\det \nabla \mathbf{u}=1$ is identified by an analysis which exploits the well-known Fefferman–Stein duality.

Résumé

Le double-revêtement ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ est donné par

en coordonnées cartésiennes. Cet article examine la conjecture selon laquelle ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ est le minimiseur global de l'énergie de Dirichlet $I(\mathbf{u})={\int }_B|\nabla \mathbf{u}{|}^{2}d\mathbf{x}$ pour les fonctions satisfaisant (i) $\mathbf{u}\in W^{1,2}(B)$, où $B$ est la boule unité de ${\mathbb{R}}^2$, (ii) $\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ sur $\partial B$, et (iii) $\det \nabla \mathbf{u}=1$ presque partout. Soit $\mathcal{A}$ la classe admissible de telles fonctions. La principale innovation est ici d'exprimer $I(\mathbf{u})$ sous forme d'une fonction auxiliaire $G(\mathbf{u}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}})$, avec laquelle nous montrons que ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ est un point stationnaire de $I$ en $\mathcal{A}$, et que ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ est un minimiseur global de l'énergie de Dirichlet parmi les membres de $\mathcal{A}$ dont la décomposition de Fourier peut être contrôlée d'une manière détaillée dans l'article. En construisant des variations autour de ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ en $\mathcal{A}$ par des techniques variationnelles, nous montrons également que ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ est un minimiseur local parmi les variations dont la tangente $\mathbf{\psi }$ de ${\mathbf{u}}_{\mathrm{dc}}$ vers $\mathcal{A}$ obéissent à $G({\mathbf{\psi }}^{\mathrm{o}})>0$, où ${\mathbf{\psi }}^{\mathrm{o}}$ est la partie impaire de $\mathbf{\psi }$. Additionnellement, un multiplicateur de Lagrange correspondant à la contrainte $\det \nabla \mathbf{u}=1$ est identifié par une analyse qui exploite la dualité de Fefferman–Stein.