Periodic solutions for a class of Lorenz–Lagrangian systems

Abstract

The class of Lorenz–Lagrangian systems under consideration are those of the form $-\mathrm{A}\ddot{q}=\nabla \mathrm{V}(q)$, $q\in R^n$, where $A$ is a real, symmetric matrix with eigenvalues ${\mu }_1<0<{\mu }_2\leqq \dots \leqq {\mu }_n$, the corresponding eigenvectors being $e_i$, $1\leqq i\leqq n$. If ${\mathrm{M}}^{+}$ and ${\mathrm{M}}^{-}$ are disjoint infinite submanifolds of $R^n$ which are the graphs of bounded real-valued functions on span $\{e_2,\dots ,e_n\}$ with $\mathrm{V}=0$ on ${\mathrm{M}}^{+}\cup {\mathrm{M}}^{-}$, $\mathrm{V}>0$ on the region $\Omega$ between ${\mathrm{M}}^{+}$ and ${\mathrm{M}}^{-}$, and $⟨\nabla \mathrm{V},e_1⟩\ne 0$ on $R^n\setminus \mathrm{\Omega }$, then we show that there exists a periodic solution of this system, provided that $\nabla \mathrm{V}$ points towards the $e_1$ axis outside a large cylinder centred on the $e_1$ axis.

Résumé

On étudie une classe de systèmes de Lorentz–Lagrange dans ℝn de la forme $-\mathrm{A}\ddot{q}=\nabla \mathrm{V}\left(q\right)$, où $A$ est une matrice sysmétrique réelle de valeurs propres ${\mu }_1<0<{\mu }_2\leqq \dots \leqq {\mu }_n$. Les vecteurs propres correspondants sont notés $e_1,\dots ,e_n$. On suppose qu’il existe sur l’hyperplan engendré par $e_2,\dots ,e_n$ deux fonctions bornées, dont les graphes ${\mathrm{M}}^{+}$ et ${\mathrm{M}}^{-}$ sont disjoints, et telles que $\mathrm{V}>0$ entre ${\mathrm{M}}^{+}$ et ${\mathrm{M}}^{-}$ et $\mathrm{V}=0$ sur ${\mathrm{M}}^{+}$ et ${\mathrm{M}}^{-}$.

On montre alors que le système possède une solution périodique pourvu que $⟨\nabla \mathrm{V},e_1⟩\ne 0$ hors de $\Omega$ et que $\nabla \mathrm{V}$ soit dirigé vers l’axe $e_1$ loin de celui-ci.