A new degree for $S^1$-invariant gradient mappings and applications

Abstract

We construct a new degree for $S^1$-invariant gradient maps where the classical degree gives little information. The main technical result needed is a new result on generic homotopies. We apply this degree to obtain a global bifurcation theorem which applies to cases where classical results give limited information.

We apply our results to obtain a bifurcation theorem for periodic solutions of Hamiltonian systems and for a problem in elasticity. We also obtain new results on bifurcation for elliptic equations on domains with an $S^1$ symmetry.

Résumé

Nous construisons un degré adapté à des applications $S^1$-invariantes de type gradient où la notion classique de degré ne donne que peu d’informations. On utilise pour cela un résultat nouveau sur les homotopies génériques. On applique ce degré pour obtenir un résultat de bifurcation globale.

Nous appliquons nos résultats pour obtenir un théorème de bifurcation de solutions périodiques de systèmes hamiltoniens, et à un problème d’élasticité. Nous obtenons également de nouveaux résultats sur la bifurcation d’équations elliptiques dans des domaines pourvus d’une symétrie $S^1$.