Heavy viable trajectories of controlled systems

Abstract

We define and study the concept of heavy viable trajectories of a controlled system with feedbacks. Viable trajectories are trajectories satisfying at each instant given constraints on the state. The controls regulating viable trajectories evolve according a set-valued feedback map. Heavy viable trajectories are the ones which are associated to the controls in the feedback map whose velocity has at each instant minimal norm. We construct the differential equation governing the evolution of the controls associated to heavy viable trajectories and we prove their existence. These results are applied to exchange economies for finding heavy trajectories of a dynamical decentralized allocation mechanism explaining the evolution of prices.

Résumé

Nous définissons le concept de trajectoire viable lourde d’un système contrôlé avec rétroaction. Les trajectoires viables sont celles qui obéissent à chaque instant à des contraintes pesant sur l’état du système. Les contrôles régulant les trajectoires viables évoluent selon une loi de rétroaction multivoque. Les trajectoires viables lourdes sont associées aux contrôles régulant les trajectoires viables dont la norme de la vitesse est minimale (parmi ceux régulant les trajectoires viables). Nous construisons les équations différentielles gouvernant les contrôles associés aux trajectoires viables lourdes et nous démontrons leur existence. Ces résultats sont appliqués aux économies d’échange pour obtenir les trajectoires viables lourdes d’un mécanisme d’allocations de ressources dynamique et décentralisé, ce qui peut expliquer l’évolution des prix.