The Schrödinger–Maxwell system with Dirac mass

Abstract

We study a nonrelativistic charged quantum particle moving in a bounded open set $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ with smooth boundary under the action of a zero-range potential. In the electrostatic case the standing wave solution takes the form $\psi (t,x)=u(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$ where $u$ formally satisfies $-\mathrm{\Delta }u+\alpha \varphi u-\frac{1}{\beta }{\delta }_{x_0}u=\omega u$ and the electric potential $\varphi$ is given by $-\mathrm{\Delta }\varphi =u^2$. We give a rigorous definition of this problem and show that it has a weak nontrivial solution.

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Résumé

Nous étudions une particule quantique chargée et non relativiste se déplaçant dans un domaine ouvert borné $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ au contour régulier sous l'action d'un potentiel concentré en un point. Dans le cas electrostatique, l'onde solution prends la forme $\psi (t,x)=u(x){\mathrm{e}}^{-i\omega t}$ où $u$ satisfait formellement $-\mathrm{\Delta }u+\alpha \varphi u-\frac{1}{\beta }{\delta }_{x_0}u=\omega u$ et le potentiel électrique $\varphi$ est donné par $-\mathrm{\Delta }\varphi =u^2$. Nous donnons une définition rigoureuse du problème et montrons qu'il possède une solution faible non triviale.

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