Uniqueness of the critical mass blow up solution for the four dimensional gravitational Vlasov–Poisson system

Abstract

We study the gravitational Vlasov–Poisson system ${\partial }_{t}f+v\cdot {\nabla }_{x}f-E\cdot {\nabla }_{v}f=0$, $E(x)=\nabla \varphi (x)$, $\mathrm{\Delta }\varphi (x)=\int f(x,v)\mathrm{d}v$, in dimension $N=4$ where the problem is $L^1$ critical. We proved in [M. Lemou, F. Méhats, P. Raphael, On the orbital stability of the ground states and the singularity formation for the gravitational Vlasov Poisson system, preprint] a sharp criterion for the global existence of weak solutions based on the variational characterization of the polytropic steady states solutions. From the existence of a pseudo-conformal symmetry, this criterion is sharp and there exist critical mass blow up solutions. We prove in this paper the uniqueness of the critical mass blow up solution. This gives in particular a first dynamical classification of the polytropic stationary solutions. The proof is an adaptation of a similar result by Frank Merle [F. Merle, Determination of blow-up solutions with minimal mass for nonlinear Schrödinger equations with critical power, Duke Math. J. 69 (2) (1993) 427–454] for the $L^2$ critical nonlinear Schrödinger equation.

Résumé

Nous considérons le système de Vlasov–Poisson ${\partial }_{t}f+v\cdot {\nabla }_{x}f-E\cdot {\nabla }_{v}f=0$, $E(x)=\nabla \varphi (x)$, $\mathrm{\Delta }\varphi (x)=\int f(x,v)\mathrm{d}v$, en dimension $N=4$ où le problème est $L^1$ critique. En se basant sur une caractérisation variationnelle des solutions stationnaires polytropiques, nous avons établi dans [M. Lemou, F. Méhats, P. Raphael, On the orbital stability of the ground states and the singularity formation for the gravitational Vlasov Poisson system, preprint] un critère optimal garantissant l'existence globale de solutions faibles pour ce système. L'optimalité de ce critère est une conséquence directe de l'existence d'une symétrie pseudo-conforme qui permet d'exhiber des solutions explosives de masse critique. Nous démontrons ici l'unicité de la solution explosive de masse critique. La preuve est une adaptation d'un résultat similaire de Frank Merle [F. Merle, Determination of blow-up solutions with minimal mass for nonlinear Schrödinger equations with critical power, Duke Math. J. 69 (2) (1993) 427–454] pour l'équation de Schrödinger non linéaire $L^2$ critique.