Remarks on W1, p-quasiconvexity, interpenetration of matter, and function spaces for elasticity

Abstract

We show that, under mild hypotheses on the elastic energy function, the minimizer of the energy in the space $\{\mathbf{f}\in {\mathrm{W}}^{1,p}:\det \nabla \mathbf{f}>0,1\leqq p<n\}$ of a nonlinear elastic ball subject to the severe compressive boundary conditions $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\lambda \mathbf{x},\lambda \ll 1$ will not be the expected uniform compression $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\lambda \mathbf{x}$. To show this, we construct competitors in this space that reduce the energy but interpenetrate matter.

We also prove that the ${\mathrm{W}}^{1,p}$-quasiconvexity condition of Ball and Murat [1984] is a necessary condition for a local minimum in a setting that includes nonlinear elasticity. This theorem is well suited to analyses of the formation of voids in nonlinear elastic materials. Our analysis illustrates the delicacy of the choice of function space for nonlinear elasticity.

Résumé

On montre que, sous des hypothèses faibles pour le potentiel d’énergie élastique, le minimum énergétique dans l’espace $\{\mathbf{f}\in {\mathrm{W}}^{1,p}:\det \nabla \mathbf{f}>0,1\leqq p<n\}$ pour une sphère élastique soumise à une compression très forte à sa surface $(\mathbf{f}(\mathbf{x})=\lambda \mathbf{x},\lambda \ll 1)$ n’est pas une compression uniforme $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\lambda \mathbf{x}$. A cet effet on construit dans cet espace des champs de déplacement à plus faible énergie. Ces champs ne respectent cependant pas la non interpénétrabilité de la matière.

Nous démontrons également que la condition de ${\mathrm{W}}^{1,p}$-quasi-convexité de Ball et Murat [1984] est une condition nécessaire d’existence d’un minimum local, ce dans un contexte qui inclue notamment l’élasticité non linéaire. Notre théorème est particulièrement bien adapté à l’analyse de la formation de cavités dans des matériaux non linéairement élastiques. Notre analyse illustre le caractère critique du bon choix d’espace fonctionnel en élasticité non linéaire.