The global Cauchy problem for the non linear Klein-Gordon equation-II

Abstract

We study the Cauchy problem for a class of non linear Klein–Gordon equations of the type $\ddot{\phi }-\Delta \phi +f(\phi )=0$ by a contraction method. We prove the existence and uniqueness of strongly continuous global solutions in the energy space $H^1(R^n)\oplus L^2(R^n)$ for arbitrary space dimension $n$ under assumptions on $f$ that cover the case of a sum of powers $\lambda |\phi {|}^{p-1}\phi$ with $1\leqq p<1+4/(n-2)$, $n\geqq 2$ and $\lambda >0$ for the highest $p$. This provides an alternative proof of existence and uniqueness to that presented in a previous paper [7]. Some of the results can be extended to the critical case $p=1+4/(n-2)$.

Résumé

On étudie le problème de Cauchy pour une classe d’équations de Klein–Gordon non linéaires du type $\ddot{\phi }-\Delta \phi +f(\phi )=0$ par une méthode de contraction. On prouve l’existence et l’unicité de solutions méthode de contraction. On prouve l’existence et l’unicité de solutions gobales fortement continues dans l’espace d’énergie $H^1(R^n)\oplus L^2(R^n)$ pour une dimension d’espace $n$ quelconque, avec des hypothèses sur $f$ qui couvrent le cas d’une somme de puissances $\lambda |\phi {|}^{p-1}\phi$ avec $1\leqq p<1+4/(n-2)$, $n\geqq 2$ et $\lambda >0$ pour la valeur de $p$ la plus élevée. On obtient ainsi une démonstration de l’existence et de l’unicité différente de celle donnée dans un article précédent [7]. Une partie des résultats s’étend au cas critique $p=1+4/(n-2)$.