Mather measures and the Bowen–Series transformation

Abstract

We consider a specific example of a compact Riemannian surface $M$ of genus 2 and constant negative curvature. We identify the boundary at infinity of $M$ to the unit circle $\Sigma ={\mathbb{S}}^1$ and choose a particular Bowen–Series map $T:\Sigma \to \Sigma$. We first show that a suspension of the natural extension of $(\Sigma ,T)$ by a roof function cohomologous to $\ln T^{\prime }$ is isomorphic to the geodesic flow on $T^{1}M$. We choose a particular set of closed geodesics $({\delta }_i{)}_{i=1}^4$ generating the fundamental group and a partition of $\Sigma$ into disjoint intervals $(A_i{)}_{i=-4}^4$ naturally associated to $({\delta }_i)$. We show that any ${\varphi }^t$-invariant probability measure $\mu$ minimizing $L=\frac{1}{2}\Vert v{\Vert }_x^2$ and with homology $h={\sum }_{i=1}^4{h}_i[{\delta }_i]$ corresponds by the previous isomorphism to a unique $T$-invariant probability measure $m$ satisfying

We also show that any ${\varphi }^t$-invariant probability measure $\mu$ minimizing $\int (L-\omega )\mathrm{d}\mu$ for a fixed cohomology $[\omega ]$ canonically corresponds to a $T$-invariant probability measure $m$ minimizing

where $({\omega }_i{)}_{i=1}^4$ are the coordinates of $[\omega ]$ in the dual basis of $([{\delta }_i])$.

Résumé

Nous considérons un exemple spécifique de surface compacte $M$ riemannienne de genre 2 et de courbure constante égale à 2. Nous identifions le bord à l'infini de $M$ au cercle unité $\Sigma ={\mathbb{S}}^1$ et nous faisons le choix d'une application de Bowen–Series particulière $T:\Sigma \to \Sigma$. Nous montrons d'abord que le flot suspendu au dessus de $(\Sigma ,T)$ par une fonction plafond cohomologue à $\ln T^{\prime }$ est isomorphe au flot géodésique sur $T^{1}M$. Nous choisissons une famille de géodésiques fermées $({\delta }_i{)}_{i=1}^4$ engendrant le groupe fondamental et une partition de $\Sigma$ en intervalles disjoints $(A_i{)}_{i=-4}^4$ naturellement associés aux $({\delta }_i)$. Nous montrons que toute mesure de probabilité ${\varphi }^t$-invariante $\mu$ minimisant $L=\frac{1}{2}\Vert v{\Vert }_x$ et d'homologie $h={\sum }_{i=1}^4{h}_i[{\delta }_i]$ correspond par l'isomorphisme précédent à une unique mesure de probabilité $T$-invariante $m$ vérifiant :

Nous montrons aussi que les mesures de probabilité ${\varphi }^t$-invariantes $\mu$ minimisant $\int (L-\omega )\mathrm{d}\mu$ pour une cohomologie $\omega$ donnée, correspondent canoniquement aux mesures de probabilité $T$-invariantes $m$ minimisant :

$({\omega }_i{)}_{i=1}^4$ désignent les coordonnées de $[\omega ]$ dans la base duale de$([{\delta }_i])$.