Mather measures and the Bowen–Series transformation

  • A.O. Lopes

    Instituto de Matemática, UFRGS, Porto Alegre 91501-970, Brazil
  • Ph. Thieullen

    Institut de Mathématiques, Université Bordeaux 1, 33405 Talence cedex, France

Abstract

We consider a specific example of a compact Riemannian surface of genus 2 and constant negative curvature. We identify the boundary at infinity of to the unit circle and choose a particular Bowen–Series map . We first show that a suspension of the natural extension of by a roof function cohomologous to is isomorphic to the geodesic flow on . We choose a particular set of closed geodesics generating the fundamental group and a partition of into disjoint intervals naturally associated to . We show that any -invariant probability measure minimizing and with homology corresponds by the previous isomorphism to a unique -invariant probability measure satisfying

We also show that any -invariant probability measure minimizing for a fixed cohomology canonically corresponds to a -invariant probability measure minimizing

where are the coordinates of in the dual basis of .

Résumé

Nous considérons un exemple spécifique de surface compacte riemannienne de genre 2 et de courbure constante égale à 2. Nous identifions le bord à l'infini de au cercle unité et nous faisons le choix d'une application de Bowen–Series particulière . Nous montrons d'abord que le flot suspendu au dessus de par une fonction plafond cohomologue à est isomorphe au flot géodésique sur . Nous choisissons une famille de géodésiques fermées engendrant le groupe fondamental et une partition de en intervalles disjoints naturellement associés aux . Nous montrons que toute mesure de probabilité -invariante minimisant et d'homologie correspond par l'isomorphisme précédent à une unique mesure de probabilité -invariante vérifiant :

Nous montrons aussi que les mesures de probabilité -invariantes minimisant pour une cohomologie donnée, correspondent canoniquement aux mesures de probabilité -invariantes minimisant :

désignent les coordonnées de dans la base duale de.

Cite this article

A.O. Lopes, Ph. Thieullen, Mather measures and the Bowen–Series transformation. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 23 (2006), no. 5, pp. 663–682

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2004.12.005