On minimal laminations of the torus

  • V. Bangert

    Mathematisches Institut, Universität Bern, Sidlerstr. 5, CH 3012 Bern, Switzerland


We investigate functions u: RnR which minimize a variational integral F(x,u(x),ux(x))dx\int \mathrm{F}(x,\:u(x),u_{x}(x))dx where F: Rn × R × RnR is periodic in (x, u) ∈ Rn + 1 and uniformly convex in uxRn. We restrict attention to non-selfintersecting minimizers u, i.e. we require that the hypersurface graph (u) ⫅ Rn + 1 does not have selfintersections when projected into Rn+1/Zn+1\mathbf{R}^{n\: + \:1}/ \mathbf{Z}^{n\: + \:1}. For such u there exists a “rotation vector” α=α(u)Rnα = α(u) \in \mathbf{R}^{n} such that u(x) — α·x is bounded. Our main result determines the structure of the set of non-selfintersecting minimizers with fixed commensurable rotation vector α. The are classified by secondary invariants. The projected graphs of the with certain types of secondary invariants form foliations or laminations (i.e. foliations with gaps) of Rn+1/Zn+1\mathbf{R}^{n\: + \:1}/ \mathbf{Z}^{n\: + \:1}.


On étudie des fonctions u: RnR qui minimisent une intégrale variationelle F(x,u(x),ux(x))dx\int \mathrm{F}(x,\:u(x),\:u_{x}(x))dx où F : F:Rn×R×RnR\mathrm{F}:\mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}^{n}\rightarrow \mathbf{R} est périodique en (x,u)Rn+1(x,\:u) \in \mathbf{R}^{n + 1} et uniformément convexe en uxRnu_{x} \in \mathbf{R}^{n}. On s’intéresse aux u pour lesquelles la projection du graphe de u dans Tn+1=Rn+1/Zn+1\mathrm{T}^{n + 1} = \mathbf{R}^{n + 1}/ \mathbf{Z}^{n + 1} est l’image d’une immersion injective. Cette condition implique que u(x)αxu(x)−α \cdot x soit bornée pour un α=α(u)Rnα = α(u) \in \mathbf{R}^{n}. Cet α est appelé vecteur de rotation de u. Le résultat principal détermine la structure de l’ensemble formé des minimales à vecteur de rotation α commensurable. Les sont classifiées par des invariants secondaires. Après projection dans Tn + 1 les graphes des à invariants secondaires d’un certain type forment soit un feuilletage de Tn + 1 soit une «lamination» ( = feuilletage à creux) de Tn + 1.

Cite this article

V. Bangert, On minimal laminations of the torus. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 6 (1989), no. 2, pp. 95–138

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30328-6