Abstract

We investigate functions u: Rn → R which minimize a variational integral $\int \mathrm{F}(x,\:u(x),u_{x}(x))dx$ where F: Rn × R × Rn → R is periodic in (x, u) ∈ Rn + 1 and uniformly convex in ux ∈ Rn. We restrict attention to non-selfintersecting minimizers u, i.e. we require that the hypersurface graph (u) ⫅ Rn + 1 does not have selfintersections when projected into $\mathbf{R}^{n\: + \:1}/ \mathbf{Z}^{n\: + \:1}$. For such u there exists a “rotation vector” $α = α(u) \in \mathbf{R}^{n}$ such that u(x) — α·x is bounded. Our main result determines the structure of the set of non-selfintersecting minimizers with fixed commensurable rotation vector α. The are classified by secondary invariants. The projected graphs of the with certain types of secondary invariants form foliations or laminations (i.e. foliations with gaps) of $\mathbf{R}^{n\: + \:1}/ \mathbf{Z}^{n\: + \:1}$.

Résumé

On étudie des fonctions u: Rn → R qui minimisent une intégrale variationelle $\int \mathrm{F}(x,\:u(x),\:u_{x}(x))dx$ où F : $\mathrm{F}:\mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}^{n}\rightarrow \mathbf{R}$ est périodique en $(x,\:u) \in \mathbf{R}^{n + 1}$ et uniformément convexe en $u_{x} \in \mathbf{R}^{n}$. On s’intéresse aux u pour lesquelles la projection du graphe de u dans $\mathrm{T}^{n + 1} = \mathbf{R}^{n + 1}/ \mathbf{Z}^{n + 1}$ est l’image d’une immersion injective. Cette condition implique que $u(x)−α \cdot x$ soit bornée pour un $α = α(u) \in \mathbf{R}^{n}$. Cet α est appelé vecteur de rotation de u. Le résultat principal détermine la structure de l’ensemble formé des minimales à vecteur de rotation α commensurable. Les sont classifiées par des invariants secondaires. Après projection dans Tn + 1 les graphes des à invariants secondaires d’un certain type forment soit un feuilletage de Tn + 1 soit une «lamination» ( = feuilletage à creux) de Tn + 1.