On minimal laminations of the torus

Abstract

We investigate functions $u:{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}$ which minimize a variational integral $\int \mathrm{F}(x,u(x),u_x(x))dx$ where $\mathrm{F}:{\mathbf{R}}^n\times \mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}$ is periodic in $(x,u)\in {\mathbf{R}}^{n+1}$ and uniformly convex in $u_x\in {\mathbf{R}}^n$. We restrict attention to non-selfintersecting minimizers $u$, i.e. we require that the hypersurface graph $(u)⫅{\mathbf{R}}^{n+1}$ does not have selfintersections when projected into ${\mathbf{R}}^{n+1}/{\mathbf{Z}}^{n+1}$. For such $u$ there exists a “rotation vector” $\alpha =\alpha (u)\in {\mathbf{R}}^n$ such that $u(x)-\alpha \cdot x$ is bounded. Our main result determines the structure of the set of non-selfintersecting minimizers with fixed commensurable rotation vector $\alpha$. The are classified by secondary invariants. The projected graphs of the with certain types of secondary invariants form foliations or laminations (i.e. foliations with gaps) of ${\mathbf{R}}^{n+1}/{\mathbf{Z}}^{n+1}$.

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Résumé

On étudie des fonctions $u:{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}$ qui minimisent une intégrale variationelle $\int \mathrm{F}(x,u(x),u_x(x))dx$ où $\mathrm{F}:{\mathbf{R}}^n\times \mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}$ est périodique en $(x,u)\in {\mathbf{R}}^{n+1}$ et uniformément convexe en $u_x\in {\mathbf{R}}^n$. On s’intéresse aux $u$ pour lesquelles la projection du graphe de $u$ dans ${\mathrm{T}}^{n+1}={\mathbf{R}}^{n+1}/{\mathbf{Z}}^{n+1}$ est l’image d’une immersion injective. Cette condition implique que $u(x)-\alpha \cdot x$ soit bornée pour un $\alpha =\alpha (u)\in {\mathbf{R}}^n$. Cet $\alpha$ est appelé vecteur de rotation de $u$. Le résultat principal détermine la structure de l’ensemble formé des minimales à vecteur de rotation α commensurable. Les sont classifiées par des invariants secondaires. Après projection dans $T^{n+1}$ les graphes des à invariants secondaires d’un certain type forment soit un feuilletage de $T^{n+1}$ soit une «lamination» ( = feuilletage à creux) de $T^{n+1}$.

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