Blow-up solutions of the self-dual Chern–Simons–Higgs vortex equation

Abstract

We apply the variational method and the blow-up analysis to the self-dual Chern–Simons–Higgs vortex equation on a flat torus to obtain two solutions for certain values of the Chern–Simons constant. As the corresponding Chern–Simons constant tends to zero, one of corresponding solutions converges to zero and the other blows up at only one point in the sense of Brezis–Merle provided that the total number of vortex is greater than 2. Further, the below-up solution is of spike type and becomes a critical point of $J_{\epsilon }^{+}$ when the total number of vortex is greater than 3. As a consequence, we show the existence of the third solution for some periodic configuration of vortices and some Chern–Simons constant.

Résumé

Nous nous appliquons la méthode variationnelle et l'analyse d'explosion à l'équation auto-duale de vortex de Chern–Simons–Higgs sur un tore plat pour obtenir deux solutions pour certaines valeurs de la constante de Chern–Simons. Lorsque la constante correspondante de Chern–Simons tend vers zéro, une des solutions correspondantes converge vers zéro et l'autre solution explose en seulement un point dans le sens de Brezis–Merle à condition que le nombre de vortex total soit plus grand que 2. De plus, l'explosion est de type “pic” et, quand le nombre de vortex total est plus grand que 3, la solution est un point critique de $J_{\epsilon }^{+}$. Nous en déduisons l'existence d'une troisième solution pour une certaine configuration périodique des vortex et une certaine constante de Chern–Simons.