On the Ginzburg–Landau model of a superconducting ball in a uniform field

Abstract

We consider the three-dimensional Ginzburg–Landau model for a solid spherical superconductor in a uniform magnetic field, in the limit as the Ginzburg–Landau parameter $\kappa =1/\varepsilon \to \infty$. By studying a limiting functional, we identify a candidate for the lower critical field $H_{c_1}$, the value of the applied field strength at which minimizers first exhibit vortices. For applied fields of this strength we show the existence of locally minimizing solutions with vortices located along a diameter of the sphere parallel to the applied field direction. To analyze these problems we use a combination of techniques, involving least perimeter problems, weak Jacobians and rectifiable currents, and special Hodge decompositions.

Résumé

Nous étudions la limite quand le paramètre de Ginzburg–Landau $\kappa ={}^1{/}_{\varepsilon }\to \infty$ pour le modèle de Ginzburg–Landau en trois dimension dans le cas d'une boule placée dans un champ magnétique uniforme. Nous identifions une fonctionnelle limite qui nous permet de trouver le premier champ critique $H_{c_1}$, c'est à dire le champ au dessus duquel les minimiseurs commencent à presenter des vortex. Nous montrons qu'il existe des solutions localement minimisantes ayant des vortex le long du diamètre de la boule qui est parallèle au champ appliqué quand sa norme est de l'ordre de $H_{c_1}$. Nous nous servons de techniques provenant de la théorie de la mesure géométrique, incluant les jacobiens faibles et les courants rectifiables, ainsi que de techniques provenant de problèmes de minimisation de périmètre.