Abstract

In the present paper, we investigate global-in-time Strichartz estimates without loss on non-trapping asymptotically hyperbolic manifolds. Due to the hyperbolic nature of such manifolds, the set of admissible pairs for Strichartz estimates is much larger than usual. These results generalize the works on hyperbolic space due to Anker–Pierfelice and Ionescu–Staffilani. However, our approach is to employ the spectral measure estimates, obtained in the author's joint work with Hassell, to establish the dispersive estimates for truncated/microlocalized Schrödinger propagators as well as the corresponding energy estimates. Compared with hyperbolic space, the crucial point here is to cope with the conjugate points on the manifold. Additionally, these Strichartz estimates are applied to the $L^2$ well-posedness and $L^2$ scattering for nonlinear Schrödinger equations with power-like nonlinearity and small Cauchy data.

Résumé

Dans cet article, nous examinons les estimations de Strichartz sans perte et globales en temps, définies sur des variétés non-captives asymptotiquement hyperboliques. De par la nature hyperbolique de ces variétés, l'ensemble des paires admissibles pour les estimations de Strichartz est beaucoup plus grand que d'ordinaire. Ces résultats généralisent les travaux menés par Anker–Pierfelice et Ionescu–Staffilani sur les espaces hyperboliques. Toutefois, notre approche utilise ici les estimations de mesures spectrales obtenues par l'auteur en collaboration avec Hassell afin d'établir les estimations de dispersion pour des propagateurs de Schrödinger tronqués ou micro-localisés ainsi que les estimations d'énergie correspondantes. À la différence des espaces hyperboliques, l'élément crucial est ici de gérer les points conjugués de la variété. Enfin, ces estimations de Strichartz sont appliquées au caractère bien posé dans $L^2$ et à la diffusion $L^2$ pour les équations de Schrödinger avec des non-linearités de type puissance et des données initiales petites.