Abstract

We consider the Schrödinger equation with no radial assumption on real hyperbolic spaces ${\mathbb{H}}^n$. We obtain in all dimensions $n⩾2$ sharp dispersive and Strichartz estimates for a large family of admissible pairs. As a first consequence, we obtain strong well-posedness results for NLS. Specifically, for small initial data, we prove $L^2$ and $H^1$ global well-posedness for any subcritical power (in contrast with the Euclidean case) and with no gauge invariance assumption on the nonlinearity F. On the other hand, if F is gauge invariant, $L^2$ charge is conserved and hence, as in the Euclidean case, it is possible to extend local $L^2$ solutions to global ones. The corresponding argument in $H^1$ requires conservation of energy, which holds under the stronger condition that F is defocusing. Recall that global well-posedness in the gauge invariant case was already proved by Banica, Carles and Staffilani, for small radial $L^2$ data or for large radial $H^1$ data. The second application of our global Strichartz estimates is scattering for NLS both in $L^2$ and in $H^1$, with no radial or gauge invariance assumption. Notice that, on Euclidean spaces ${\mathbb{R}}^n$, this is only possible for the critical power $\gamma =1+\frac{4}{n}$ and can be false for subcritical powers while, on hyperbolic spaces ${\mathbb{H}}^n$, global existence and scattering of small $L^2$ solutions hold for all powers $1<\gamma ⩽1+\frac{4}{n}$. If we restrict to defocusing nonlinearities F, we can extend the $H^1$ scattering results of Banica, Carles and Staffilani to the nonradial case. Also there is no distinction anymore between short range and long range nonlinearities: the geometry of hyperbolic spaces makes every power-like nonlinearity short range.

Résumé

Nous étudions l'équation de Schrödinger sur les espaces hyperboliques réels ${\mathbb{H}}^n$, sans aucune hypothèse de radialité. Nous commençons par établir une inégalité dispersive optimale en toute dimension $n⩾2$, ainsi qu'une inégalité de Strichartz pour une grande famille de paires admissibles. Nous en déduisons que l'équation semi-linéaire est fortement bien posée dans $L^2$ ou dans $H^1$, pour des données initiales petites et pour des non-linéarités relativement générales, en particulier pour toutes les puissance sous-critiques (contrairement au cas euclidien) et sans hypothèse d'invariance par changement de jauge. Dans ce dernier cas, on a conservation de la charge et les solutions $L^2$ locales se prolongent en solutions $L^2$ globales ; le phénomène analogue dans $H^1$ repose sur la conservation de l'énergie, qui est vérifiée pour des non-linéarités défocalisantes. Rappelons que Banica, Carles et Staffilani avaient précédemment montré que l'équation semi-linéaire était globalement bien posée pour des non-linéarités invariantes par changement de jauge et pour des données radiales petites dans $L^2$ ou arbitraires dans $H^1$. Comme seconde application, nous montrons qu'il y a diffusion (scattering) dans $L^2$ et dans $H^1$, à nouveau sans hypothèse de radialité ou d'invariance par changement de jauge. Rappelons que dans ${\mathbb{R}}^n$ ceci n'est possible que pour l'exposant critique $\gamma =1+\frac{4}{n}$ et peut être faux pour des exposants sous-critiques, tandis que sur l'espace hyperboliques ${\mathbb{H}}^n$, on a existence globale et diffusion pour tout exposant $1<\gamma ⩽1+\frac{4}{n}$ (et pour des conditions initiales petites dans $L^2$). Dans le cas défocalisant, nous pouvons étendre au cas non radial les résultats de diffusion $H^1$ de Banica, Carles, Staffilani. Observons également que, sur l'espace hyperbolique, toutes les non-linéarités de type puissance n'ont qu'un effet à courte portée, contrairement au cas euclidien.