JournalsaihpcVol. 26, No. 5pp. 1853–1869

Nonlinear Schrödinger equation on real hyperbolic spaces

  • Jean-Philippe Anker

    Université d'Orléans & CNRS, Laboratoire MAPMO (UMR 6628), Fédération Denis Poisson (FR 2964), Bâtiment de Mathématiques, B.P. 6759, 45067 Orléans cedex 2, France
  • Vittoria Pierfelice

    Université d'Orléans & CNRS, Laboratoire MAPMO (UMR 6628), Fédération Denis Poisson (FR 2964), Bâtiment de Mathématiques, B.P. 6759, 45067 Orléans cedex 2, France
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Abstract

We consider the Schrödinger equation with no radial assumption on real hyperbolic spaces Hn\mathbb{H}^{n}. We obtain in all dimensions n2n⩾2 sharp dispersive and Strichartz estimates for a large family of admissible pairs. As a first consequence, we obtain strong well-posedness results for NLS. Specifically, for small initial data, we prove L2L^{2} and H1H^{1} global well-posedness for any subcritical power (in contrast with the Euclidean case) and with no gauge invariance assumption on the nonlinearity F. On the other hand, if F is gauge invariant, L2L^{2} charge is conserved and hence, as in the Euclidean case, it is possible to extend local L2L^{2} solutions to global ones. The corresponding argument in H1H^{1} requires conservation of energy, which holds under the stronger condition that F is defocusing. Recall that global well-posedness in the gauge invariant case was already proved by Banica, Carles and Staffilani, for small radial L2L^{2} data or for large radial H1H^{1} data. The second application of our global Strichartz estimates is scattering for NLS both in L2L^{2} and in H1H^{1}, with no radial or gauge invariance assumption. Notice that, on Euclidean spaces Rn\mathbb{R}^{n}, this is only possible for the critical power γ=1+4n\gamma = 1 + \frac{4}{n} and can be false for subcritical powers while, on hyperbolic spaces Hn\mathbb{H}^{n}, global existence and scattering of small L2L^{2} solutions hold for all powers 1<γ1+4n1 < \gamma ⩽1 + \frac{4}{n}. If we restrict to defocusing nonlinearities F, we can extend the H1H^{1} scattering results of Banica, Carles and Staffilani to the nonradial case. Also there is no distinction anymore between short range and long range nonlinearities: the geometry of hyperbolic spaces makes every power-like nonlinearity short range.

Résumé

Nous étudions l'équation de Schrödinger sur les espaces hyperboliques réels Hn\mathbb{H}^{n}, sans aucune hypothèse de radialité. Nous commençons par établir une inégalité dispersive optimale en toute dimension n2n⩾2, ainsi qu'une inégalité de Strichartz pour une grande famille de paires admissibles. Nous en déduisons que l'équation semi-linéaire est fortement bien posée dans L2L^{2} ou dans H1H^{1}, pour des données initiales petites et pour des non-linéarités relativement générales, en particulier pour toutes les puissance sous-critiques (contrairement au cas euclidien) et sans hypothèse d'invariance par changement de jauge. Dans ce dernier cas, on a conservation de la charge et les solutions L2L^{2} locales se prolongent en solutions L2L^{2} globales ; le phénomène analogue dans H1H^{1} repose sur la conservation de l'énergie, qui est vérifiée pour des non-linéarités défocalisantes. Rappelons que Banica, Carles et Staffilani avaient précédemment montré que l'équation semi-linéaire était globalement bien posée pour des non-linéarités invariantes par changement de jauge et pour des données radiales petites dans L2L^{2} ou arbitraires dans H1H^{1}. Comme seconde application, nous montrons qu'il y a diffusion (scattering) dans L2L^{2} et dans H1H^{1}, à nouveau sans hypothèse de radialité ou d'invariance par changement de jauge. Rappelons que dans Rn\mathbb{R}^{n} ceci n'est possible que pour l'exposant critique γ=1+4n\gamma = 1 + \frac{4}{n} et peut être faux pour des exposants sous-critiques, tandis que sur l'espace hyperboliques Hn\mathbb{H}^{n}, on a existence globale et diffusion pour tout exposant 1<γ1+4n1 < \gamma ⩽1 + \frac{4}{n} (et pour des conditions initiales petites dans L2L^{2}). Dans le cas défocalisant, nous pouvons étendre au cas non radial les résultats de diffusion H1H^{1} de Banica, Carles, Staffilani. Observons également que, sur l'espace hyperbolique, toutes les non-linéarités de type puissance n'ont qu'un effet à courte portée, contrairement au cas euclidien.

Cite this article

Jean-Philippe Anker, Vittoria Pierfelice, Nonlinear Schrödinger equation on real hyperbolic spaces. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26 (2009), no. 5, pp. 1853–1869

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2009.01.009