On subsemigroups of semisimple Lie groups
I.A.K. Kupka
University of Toronto, Dpt. of Maths, 100 St Georges street, Toronto, Ontario, M5S-1A1, CanadaR. El Assoudi
INSA de Rouen, LMI, AMS, URA CNRS 1378, BP n° 08, place Émile Blondel, 76131, Mont-St-Aignan, FranceJ.P. Gauthier
INSA de Rouen, LMI, AMS, URA CNRS 1378, BP n° 08, place Émile Blondel, 76131, Mont-St-Aignan, France; Institut Universitaire de France
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Abstract
In this paper, we consider a real connected semisimple Lie group and ask whether or not a subset of generates as a semigroup. We deal with the special case where is infinitesimally generated, i.e., for some subset of , the Lie algebra of . In the case where is a symmetric subset of (i.e., ), this is equivalent to the fact that generates as a group. It is also known, by an old result of Kuranishi, that generates as soon as is a symmetric subset of of the form for generic pairs in . In the case where , almost nothing is known, except in the compact case where Kuranishi’s result still holds. We deal with the intermediate case where . This case is specially important in control theory, where such sets apear naturally through control systems of the “classical control-affine form ”.
A theorem is proven, which is the final form of several results in a series of papers of all of the authors. This theorem improves on all these results.
Résumé
Dans cet article, on considère un groupe de Lie réel connexe semi-simple et on se demande quand est-ce qu’une partie de engendre en tant que semigroupe. On s’intéresse au cas particulier où est infinitésimalement engendré, i.e., { }, par une partie de , l’algèbre de Lie de . Dans le cas οù est une partie symétrique de (i.e., ) ceci est équivalent au fait que engendre comme un groupe. On sait, par un résultat de Kuranishi, que engendre dès que est une partie symétrique de la forme pour une paire générique dans . Dans le cas οù , on ne sait presque rien sauf dans le cas compact où le résultat de Kuranishi est toujours vrai. On s’intéresse au cas intermédiaire où . Ce cas est particulièrement important dans la théorie du contrôle (systèmes affines classiques du type .
Un théorème est démontré. Il est la forme finale de certains résultats d’une série d’articles des auteurs. Ce théorème implique tous les résultats précédents.
Cite this article
I.A.K. Kupka, R. El Assoudi, J.P. Gauthier, On subsemigroups of semisimple Lie groups. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 13 (1996), no. 1, pp. 117–133
DOI 10.1016/S0294-1449(16)30099-3