On subsemigroups of semisimple Lie groups

Abstract

In this paper, we consider a real connected semisimple Lie group $G$ and ask whether or not a subset $S$ of $G$ generates $G$ as a semigroup. We deal with the special case where $S$ is infinitesimally generated, i.e., $S=\{\exp tX|X\in \Sigma ,t\in {\mathbb{R}}_{+}\}$ for some subset $\Sigma$ of $L$, the Lie algebra of $G$. In the case where $\Sigma$ is a symmetric subset of $L$ (i.e., $\Sigma =-\Sigma$), this is equivalent to the fact that $S$ generates $G$ as a group. It is also known, by an old result of Kuranishi, that $S$ generates $G$ as soon as $\Sigma$ is a symmetric subset of $L$ of the form $\pm X,\pm Y$ for generic pairs $(X,Y)$ in $L\times L$. In the case where $\Sigma =X,Y$, almost nothing is known, except in the compact case where Kuranishi’s result still holds. We deal with the intermediate case where $\Sigma =X,\pm Y$. This case is specially important in control theory, where such sets $\Sigma$ apear naturally through control systems of the “classical control-affine form $\dot{x}=X(x)+uY(x)$”.

A theorem is proven, which is the final form of several results in a series of papers of all of the authors. This theorem improves on all these results.

Résumé

Dans cet article, on considère un groupe de Lie réel connexe semi-simple $G$ et on se demande quand est-ce qu’une partie $S$ de $G$ engendre $G$ en tant que semigroupe. On s’intéresse au cas particulier où $S$ est infinitésimalement engendré, i.e., $S=$ { $\exp tX|X\in \Sigma ,t\in {\mathbb{R}}_{+}$}, par une partie $\Sigma$ de $L$, l’algèbre de Lie de $G$. Dans le cas οù $\Sigma$ est une partie symétrique de $L$ (i.e., $\Sigma =-\Sigma$) ceci est équivalent au fait que $S$ engendre $G$ comme un groupe. On sait, par un résultat de Kuranishi, que $S$ engendre $G$ dès que $\Sigma$ est une partie symétrique de la forme$\pm X,\pm Y$ pour une paire générique dans $L\times L$. Dans le cas οù $\Sigma =X,Y$, on ne sait presque rien sauf dans le cas compact où le résultat de Kuranishi est toujours vrai. On s’intéresse au cas intermédiaire où $\Sigma =X,\pm Y$. Ce cas est particulièrement important dans la théorie du contrôle (systèmes affines classiques du type $\dot{x}=X(x)+uY(x)$.

Un théorème est démontré. Il est la forme finale de certains résultats d’une série d’articles des auteurs. Ce théorème implique tous les résultats précédents.