Existence of minimizers for non-quasiconvex functionals arising in optimal design

Abstract

This paper investigates the existence of minimizers for the so-called Kohn–Strang functional with affine boundary conditions. Such a functional, which arises in optimal shape design problems in electrostatics, is not quasi-convex, and therefore existence of minimizers is, in general, guaranteed only for its quasi-convex envelope. Such a quasi-convexification has been computed in two space dimensions in [11]. Recently, necessary and sufficient conditions on the affine boundary conditions for existence of minimizers for the Kohn–Strang functional have been derived in two space dimensions in [7]. We generalize these previous results for arbitrary space dimensions. Our method relies on the homogenization approach for relaxing optimal design problems. We also generalize our results to some variants of the Kohn–Strang functional.

Résumé

Dans cet article nous étudions l’existence de minima pour la fonctionnelle dite de Kohn–Strang avec des conditions aux limites affines. Une telle fonctionnelle, issue de problèmes d’optimisation de formes en électrostatique, n’est pas quasiconvexe, et de ce fait l’existence de minima n’est en général garantie que pour son enveloppe quasiconvexe. Sa quasiconvexification a été calculée en dimension deux d’espace par Kohn et Strang. Récemment, une condition nécessaire et suffisante sur la condition aux limites affine pour l’existence d’un minimum de la fonctionnelle de Kohn et Strang a été trouvée par Dacorogna et Marcellini. Nous généralisons ces résultats en toute dimension d’espace. Notre méthode repose sur la méthode d’homogénéisation pour relaxer des problèmes d’optimisation de formes. Nous donnons aussi quelques généralisations à des variantes de la fonctionnelle de Kohn et Strang.