Weak compactness of wave maps and harmonic maps

Abstract

We show that a weak limit of a sequence of wave maps in (1 + 2) dimensions with uniformly bounded energy is again a wave map. Essential ingredients in the proof are Hodge structures related to harmonic maps, ${\mathcal{H}}^1$ estimates for Jacobians, ${\mathcal{H}}^1$-BMO duality, a “monotonicity” formula in the hyperbolic context and the concentration compactness method. Application of similar ideas in the elliptic context yields a drastically shortened proof of recent results by Bethuel on Palais–Smale sequences for the harmonic map functional on two dimensional domains and on limits of almost $H$-surfaces.

Résumé

La limite faible d’une suite d’applications d’ondes bornée en énergie est de nouveau une application d’ondes (au sens faible). La démonstration utilise de façon essentielle les structures de Hodge associćes aux applications harmoniques (ou aux applications d’ondes), des estimations dans l’espace ${\mathcal{H}}^1$ de Hardy pour les Jacobiens (dualité ${\mathcal{H}}^1$-BMO), une « formule de monotonicité å dans le contexte hyperbolique, et la méthode de concentration-compacité. Dans le cas elliptique, nos idées fournissent une démonstration très simple et naturelle de résultats récents pour la convergence de suites Palais–Smale pour la fonctionnelle liée aux applications harmoniques en dimension deux et pour les surfaces à courbure moyenne prescrite, dues à Bethuel.