Pincement spectral en courbure de Ricci positive

Abstract

We show that for $n$-dimensional manifolds with $\mathrm{Ric}\ge (n-1)g$ and for $k$ in $\{1,\dots ,n+1\}$, the $k$-th eigenvalue for the Laplacian is close to $n$ if and only if the manifold contains a subset which is Gromov–Hausdorff close to the sphere ${\mathbb{S}}^{k-1}$ . For $k=n+1$, this gives a new proof of results of Colding and Petersen which show that the $(n+1)$-th eigenvalue is close to $n$ if and only if the manifold is Gromov–Hausdorff close to the $n$-sphere.

Résumé

Dans cet article, nous démontrons que sur les variétés riemanniennes de dimension $n$ vérifiant $\mathrm{Ric}\ge (n-1)g$ et pour $k$ dans $\{1,\dots ,n+1\}$, la ke valeur propre du laplacien est proche de $n$ si et seulement si la variété contient une partie Gromov–Hausdorff proche de la sphère ${\mathbb{S}}^{k-1}$. Pour $k=n+1$, nous obtenons une nouvelle preuve des résultats de Petersen et Colding qui montrent que pour de telles variétés, la $(n+1{)}^{\text{e}}$ valeur propre est proche de $n$ si et seulement si la variété est Gromov–Hausdorff proche de la sphère de dimension $n$.