Inégalités de Milnor–Wood géométriques

Abstract

Nous prouvons une généralisation de la célèbre inégalité de Milnor–Wood. Si Y est une variété riemannienne fermée, nous considérons une représentation de son groupe fondamental dans le groupe d'isométries d'une espace symétrique X de même dimension. Lorsque X est le produit d'espaces symétriques de courbure strictement négative et de dimension strictement supérieure à 2, nous démontrons une majoration du volume de cette représentation par un nombre calculé à l'aide des entropies volumiques de Y et X. Le cas d'égalité est étudié et donne un théorème de rigidité. Ensuite nous décrivons des exemples de représentations de volume non nul. En dimension 3 l'inégalité ci-dessus donne une preuve simple d'un théorème dû à Soma montrant la finitude du nombre de variétés hyperboliques fermées dominées par une même variété fermée.

We prove a generalisation of the celebrated Milnor–Wood inequality. If Y is a closed Riemannian manifold, we consider a representation of its fundamental group into the isometry group of a symmetric space of the same dimension. When X is the product of symmetric spaces of negative curvature and of dimension greater than 2, we prove an upper bound of the volume of this representation computed in terms of the volume entropies of Y and X. The case of equality is studied and gives rise to a rigidity theorem. We then describe examples of representations of non-zero volume. In dimension 3 the inequality gives a simple proof of a theorem due to Soma showing the finiteness of the number of closed hyperbolic manifolds dominated by the same closed manifold.