Prescription du spectre du laplacien de Hodge–de Rham dans une classe conforme

Abstract

For any compact manifold of dimension $n\ge 5$, we prescribe the volume and any finite part of the spectrum of the Hodge Laplacian (without multiplicity) acting on differential forms of degree $p\in [2,n-2]$ (except for $p=n/2$ if $n$ is even), within a given conformal class. When $n\le 4$ and when $p=0,1,n-1,n$, and $p=n/2$ if $n$ is even, this simultaneous prescription of the volume, the spectrum and the conformal class is known to be impossible.

Résumé

Sur toute variété compacte de dimension $n\ge 5$, on prescrit le volume et toute partie finie du spectre du laplacien de Hodge–de Rham (sans multiplicité) en restriction aux formes de degré $p\in [2,n-2]$, en excluant $p=n/2$ si $n$ est pair, et en imposant à la métrique d'appartenir à une classe conforme donnée. On sait que pour $n\le 4$, ainsi que pour $p=0,1,n-1,n$, et $p=n/2$ si $n$ est pair, on ne peut pas prescrire simultanément le spectre, le volume et la classe conforme.