Théorie d'Iwasawa des représentations cristallines II

Abstract

Let $K$ be a finite unramified extension of $Q_p$ and let $V$ be a crystalline representation of $\mathrm{Gal}({\bar{Q}}_p/K)$. In this article, we give a proof of the $C_{\mathrm{EP}}(L,V)$ conjecture for $L\subset Q_p^{\mathrm{ab}}$ as well as a proof of its equivariant version $C_{\mathrm{EP}}(L/K,V)$ for $L\subset {\bigcup }_{n=1}^{\infty }K({\zeta }_{p^n})$. The main ingredients are the ${\delta }_{Z_p(V)}$ conjecture about the integrality of Perrin–Riou's exponential, which we prove using the theory of $(\phi ,\Gamma )$-modules, and Iwasawa-theoretic descent techniques used to show that ${\delta }_{Z_p(V)}$ implies $C_{\mathrm{EP}}(L/K,V)$.

Résumé

Soit $K$ une extension finie non-ramifiée de $Q_p$ et $V$ une représentation cristalline de $\mathrm{Gal}({\bar{Q}}_p/K)$. Dans cet article, on montre la conjecture $C_{\mathrm{EP}}(L,V)$ pour $L\subset Q_p^{\mathrm{ab}}$ et sa version équivariante $C_{\mathrm{EP}}(L/K,V)$ pour $L\subset {\bigcup }_{n=1}^{\infty }K({\zeta }_{p^n})$. Les principaux ingrédients sont la conjecture ${\delta }_{Z_p(V)}$ sur l'intégralité de l'exponentielle de Perrin–Riou, que nous démontrons en utilisant la théorie des $(\phi ,\Gamma )$-modules, et des techniques de descente en théorie d'Iwasawa pour montrer que ${\delta }_{Z_p(V)}$ implique $C_{\mathrm{EP}}(L/K,V)$.