Rigidité topologique sous l'hypothèse « entropie majorée » et applications

Abstract

We study some families of compact length spaces whose entropy is bounded from above. We prove that these families are complete w.r.t. the Gromov–Hausdorff distance and we give an explicit constant ε0 > 0 such that, on balls of radius ε0 with respect to the Gromov–Hausdorff distance, the fundamental group is constant, the universal covers are close for the equivariant Gromov–Hausdorff distance, the length spectrum is continuous and the entropy is Lipschitz. If we consider now some subsets of manifolds, we show moreover that the volume is semi-continuous from below and that the integral of the Ricci curvature is bounded from below.

Nous étudions certaines familles d'espaces de longueur compacts dont l'entropie volumique est majorée. Nous montrons que ces familles sont complètes pour la distance de Gromov–Hausdorff et nous prouvons l'existence d'une constante explicite ε0 > 0 telle que, sur les boules de rayon ε0 pour la distance de Gromov–Hausdorff, le groupe fondamental est constant, les revêtements universels sont proches pour la distance de Gromov–Hausdorff équivariante, le spectre des longueurs est continu, l'entropie est Lipschitzienne. Si l'on se restreint à certains sous-ensembles des variétés riemanniennes compactes, nous montrons de plus que, sur ces boules de rayon ε0, le volume est semi-continu inférieurement et que l'intégrale de la courbure de Ricci est minorée uniformément.