Einstein manifolds with convex boundaries

Abstract

Let $(\mathrm{M},\partial \mathrm{M})$ be a compact $m+1$-manifold with boundary with an Einstein metric $g_0$, with ${\mathrm{ric}}_{g_0}=-m{g}_0$ and with pinched negative curvature, such that $\partial \mathrm{M}$ is convex and umbilical. Let $h_0$ be the induced metric on $\partial \mathrm{M}$ . Then any metric close enough to $h_0$ is induced on $\partial \mathrm{M}$ by an Einstein metric $g$ with ${\mathrm{ric}}_g=-mg$ on $\mathrm{M}$. A similar (but slightly weaker) result applies to Ricci-flat manifolds.

Résumé.

Soit $(\mathrm{M},\partial \mathrm{M})$ und $m+1$-variété compacte à bord, munie d'une métrique d'Einstein $g_0$, avec ${\mathrm{ric}}_{g_0}=-m{g}_0$ et à courbure négative pincée, telle que $\partial \mathrm{M}$ est convexe et ombilique. Soit $h_0$ la métrique induite sur $\partial \mathrm{M}$ . Alors toute métrique susamment proche de $h_0$ est induite sur $\partial \mathrm{M}$ par une métrique d'Einstein $g$ avec ${\mathrm{ric}}_g=-mg$ sur $\mathrm{M}$. Un résultat similaire (un peu plus faible) s'applique aux variétés Ricci-plates.