Relèvements des algèbres lisses et de leurs morphismes

Abstract

Let R be a commutative ring and let I be any ideal of R, put ${\bf\it\bar R} : = {\bf\it R} / {\bf\it I}$ . We prove that for any smooth $\bf\it\bar R$ -algebra $\bf\it\bar A$ there exist a smooth R-algebra A such that $\bf\it\bar A$ is isomorphic to ${\bf\it\bar R} \otimes_{\bf\it R} {\bf\it A}$ . We also show that for any morphism of smooth $\bf\it\bar R$ -algebras ${\it\bar a} : {\bf\it\bar A} \rightarrow {\bf\it\bar B}$ , there exist a morphism of smooth R-algebras ${\it a} : {\bf\it A} \rightarrow {\bf\it B}$ such that ${\bf 1} \otimes {\it a} : {\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it A} \rightarrow {\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it B}$ is isomorphic to ${\it\bar a} : {\bf\it\bar A} \rightarrow {\bf\it\bar B}$ . As a corollary, when R is nmtherian, we show that for any smooth $\bf\it\bar R$ -algebra $\bf\it\bar A$ there exist a very smooth weakly complete algebra ${\bf\it A}^\dagger$ over R such that ${\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it A}^\dagger$ is isomorphic to $\bf\it\bar A$ . Soient R un anneau commutatif et I un idéal de R, notons ${\bf\it\bar R} : = {\bf\it R} / {\bf\it I}$ . Nous prouvons que pour toute $\bf\it\bar R$ -algèbre lisse $\bf\it\bar A$ , il existe une R-algèbre lisse A telle que $\bf\it\bar A$ est isomorphe à ${\bf\it\bar R} \otimes_{\bf\it R} {\bf\it A}$ . Nous prouvons également que pour tout morphisme de $\bf\it\bar R$ -algèbres lisses ${\it\bar a} : {\bf\it\bar A} \rightarrow {\bf\it\bar B}$ , il existe un morphisme de R-algèbres lisses ${\it a} : {\bf\it A} \rightarrow {\bf\it B}$ tel que ${\bf 1} \otimes {\it a} : {\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it A} \rightarrow {\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it B}$ est isomorphe à ${\it\bar a} : {\bf\it\bar A} \rightarrow {\bf\it\bar B}$ . On en déduit, lorsque R est nmthérien, que pour toute $\bf\it\bar R$ -algèbre lisse $\bf\it\bar A$ , il existe une R-algèbre faiblement complète très lisse ${\bf\it A}^\dagger$ telle que ${\bf\it\bar R} \otimes {\bf\it A}^\dagger$ est isomorphe à $\bf\it\bar A$ .