Divergence exponentielle des sous-groupes discrets en rang supérieur

Abstract

Soient G un groupe de Lie semi-simple, réel, connexe et de centre fini, $\mathfrak a$ un sous-espace de Cartan de l‘algèbre de Lie de G et $\mathfrak a^{+} \subset \mathfrak a$ une chambre de Weyl fermée de $\mathfrak a$ . Si $\Gamma$ est un sous-groupe discret Zariski dense de G, nous lui associons une fonction homogène $\psi_{\Gamma} : \mathfrak a^{+} \rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty\}$ qui généralise l‘exposant de convergence de $\Gamma$ considéré en $\mathbb {R}$ -rang 1. Nous montrons alors que cette fonction est concave. Dans un travail ultérieur, nous en déduirons des constructions de généralisations des mesures de Patterson-Sullivan. Nous démontrons aussi des analogues de nos résultats sur les corps locaux.