Sur une conjecture de Mukai

Abstract

Generalizing a question of Mukai, we conjecture that a Fano manifold $X$ with Picard number ${\rho }_X$ and pseudo-index ${\iota }_X$ satisfies ${\rho }_X({\iota }_X-1)\le \dim (X)$. We prove this inequality in several situations: $X$ is a Fano manifold of dimension $\le 4$, $X$ is a toric Fano manifold of dimension $\le 7$, or $X$ is a toric Fano manifold of arbitrary dimension with ${\iota }_X\ge \dim (X)/3+1$. Finally, we offer a new approach to the general case.

Résumé

Généralisant une question de Mukai, nous conjecturons quáune variété de Fano $X$ de nombre de Picard ${\rho }_X$ et de pseudo-indice ${\iota }_X$ vérifie ${\rho }_X({\iota }_X-1)\le \dim (X)$. Nous démontrons cette conjecture dans plusieurs situations : $X$ est une variété de Fano de dimension $\le 4$, $X$ est une variété de Fano torique de dimension $\le 7$ ou $X$ est une varété de Fano torique de dimension arbitraire avec ${\iota }_X\ge \dim (X)/3+1$. Enfin, nous présentons une approche nouvelle pour le cas général.